Exponentialgleichung lösen: e - e^{-x} = e^x - e

Question

Ichh komme mit folgender Exponentialgleichung nicht weiter: 

e - e^-x = e^x - e

Wolfram Alpha schlägt vor, beide Seiten mit e^x zu multiplizieren, so dass man auf folgendes kommt:

e^x+1 - 1 = e^2x - e^x+1

So weit, so gut. Aber wie geht es jetzt weiter?

Mit Substitution?

Answer 1

e - e^-x = e^x - e
2 * e = e^x + e^{-x}   | * e^x
2 * e * e^x = ( e^x  ) ^2 + 1

Ersetzen : e^x = a

2 * e * a = a^2 + 1
a^2 - 2 * e * a = -1  | quadratische Ergänzung
a^2 - 2 * e * a + e^2 = e^2 - 1
( a - e )^2 = e^2 -1
a - e = ± √( e^2 -1 )
a = ± 2.528 + e
a = 5.246
und
a = 0.19

e^x = 5.246
x = ln (5.246 ) = 1.657

Probe
e -e^{-1.657} = e^{1.657} - e
2.528 = 2.525 ( kleiner Rundungsfehler )

Überprüfung der 2.Lösung überlasse ich dir.

Nutzen wir auch noch den Plotter zur Überprüfung:

~plot~ e - e^{(-x)} ; e^{x} - e ~plot~   

Answer 2

Es gibt auch noch eine Lösung ohne Substitution:

Schreibfaule Menschen haben für (e^x+e^{-x})/2 = cosh(x)  

einen neuen Funktionsnamen ausgedacht, also

e-e^{-x}=e^x-e | +e^{-x}+e

2e = (e^x+e^{-x}) | /2

e = (e^x+e^{-x})/2 = +/- cosh(x) | Umkehrfunktion

x = +/-acosh(e) = +/-log(A188739)

habe mehrere 1000 Stellen ... :-)

Über 20000 Stellen dieses Ergebnisses ergeben diese tolle 3D Landschaft:

Answer 3

ich weiß ja nicht ob das hier als Antwort reicht, aber mit der Substitution y:=e^x (ausgehend von deiner ersten Formel) kommst du mit pq-Formel ans Ziel.

Man kann die Substitution auch in die 2. Gleichung einsetzen, da man ja dadurch nur die Reihenfolge der Umformungen vertauscht :).

Answer 4

e^{2x}-2e*e^x+1 = 0

z^2-2ez+1 = 0

p= -2e, q=1 ...