Steckbriefaufgaben: Rückführen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

Question

a) gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritte Grades mit Tiefpunkt P(1| 2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt.

b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt P(2|4) jeweils ein Extremum.

Die Funktionen sollen mit Hilfe von Gleichungssystemen zurückgeführt werden.

Answer 1

a) gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritte Grades mit Tiefpunkt P(1| 2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt.

Aus dem blau markierten Teil der Angabe folgt, dass die gesuchte Funktion symmetrisch zum Ursprung ist. Daher genügt der Ansatz

$$ f(x) = ax^3+cx \\ f'(x) = 3ax^2+c $$und die beiden Bedingungen

$$ \,\,f(1) = 2 \quad\Rightarrow\quad \,\,\,a+c = 2 \\ f'(1) = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a+c = 0 $$

Answer 2

a) gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritte Grades mit Tiefpunkt P(1| 2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt.

Ansatz:  f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

wegen P(1| 2) ist  f(1)=2

wegen Tiefpu.    f ' (1) = 0

wendestelle bei x=0   also  f ' ' (x) = 0

graph geht durch Ursprung    f (0) = 0

Gibt 4 (einfache) Gleichungen mit abcd , die rechnest du aus und fertig.

b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt P(2|4) jeweils ein Extremum.

Ansatz:  f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

graph geht durch Ursprung    f (0) = 0

extremum bei x=0                f ' (0) = 0

extremum bei x=2                f ' (2) = 0

graph geht durch (2|4)          f (2) = 4

Die Funktionen sollen mit Hilfe von Gleichungssystemen zurückgeführt werden.

Comments

dankesehr für die hilfe

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was ist wenn ich null einsetze. fällt die gleichung dann nicht ganz weg? wie ist die letzte gleichung denn sonst

Bei der wendedstelle ist das dann 6ax^2 + 2bx?

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Bei der wendedstelle ist das dann 6ax² + 2bx?

redest du von der 1. oder der 2. Aufgabe ?

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letzte Gleichung bei der 1. Aufgabe ist f(0) = 0
also mit     f(x) = ax³ + bx² + cx + d
               f(0) = a0³ + b0² + 0x + d   = 0
                      also   0 + 0 + 0 + d   = 0
                                                     d = 0
Und damit hast du schon mal den Wert von d

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Von der ersten Aufgabe

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f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f ' ( x) = 3ax^2 + 2bx + c

f ' ' ( x) = 6ax + 2b  Du hattest einen Fehler in der 2. Abl.

Dann f ' ' (0) = 0 gibt   2b = 0   also b=0