Bestimmen Sie alle ungeraden, ganzrationalen Funktionen dritten Grades mit f (3) = 3.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle ungeraden, ganzrationalen Funktionen dritten Grades mit f (3) = 3.

a) Welche dieser Funktionen besitzen einen Graphen mit waagerechter
Wendetangente?
b) Welche dieser Funktionen besitzen ein lokales Maximum?

Problem/Ansatz:

Mir ist klar das die ungerade, ganzrationale Funktionen dritten Grades durch den Punkt (3/3) gehen soll, doch ich wüsste nicht wie ich mit dieser Information weiter arbeiten sollte. Vielleicht den Punkt einsetzen, doch mir ist dabei unklar wo genau.

Es wäre lieb wenn mir jemand einen Ansatz/Vorschlag machen würde. :)

Answer 1

den Punkt einsetzen, doch mir ist dabei unklar wo genau.

In die allgemeine Form für ungerade ganzrationale Funktionen dritten Grades:

        \(f(x) = ax^3 + bx\)

Answer 2

a)  wegen "ungerade" :         f(x)=ax^3 + bx

f(3)=3 ==>           3 = 27a + 3b ==>   b= 1-9a also

               f(x) =   ax^3 +  (1-9a)*x   für alle a≠0.

b) Wendepunkt existiert, wenn es ein x gibt mit  f '' (x) = 0

                       f ' ' (x) = 6ax   also

               f ' ' (0)=0 und f ' ' ' (0) ≠ 0

somit immer Wendepunkt bei (0;0) .

mit waagerechte Tangente, wenn f ' (0) = 0

                 f ' (x) =   1-9a , also wenn a=1/9

sieht so aus  ~plot~ x^3/9 ~plot~

c)  f ' (x) = 3ax^2 +1-9a =0  hat genau Lösungen für

       a > 0 und   9a-1 > 0

oder a <0   und  9a-1 <  0

Und dann auch immer je ein lok. Max und ein lok. Min.