Question

Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes: 

∃x∈ℝ: x² + 36 = e^x   

und bestimmen Sie den Wert von x bis zur zweiten Nachkommastelle.

Zu erst hab ich die Funktion so umgeformt:

x² + 36 = e^x 

<=> ln(x² + 36) = x

Um jetzt mit dem Fixpunktsatz zu argumentieren, muss ich ja nur zeigen, dass f(x):= ln(x²+36) eine Kontraktion ist, da mein Fixpunkt x* dann genau das x ist, für das die Gleichung aufgeht.

Zu zeigen: ∃q∈ℝ, 1>q>0∀x,y∈ℝ: | ln(x² + 36) - ln(y² + 36) | ≤ q* | x - y |

<=> | ln((x² + 36) / (y² + 36)) | ≤ q* | x - y | 

Und ab hier komm ich nicht weiter.

Answer 1

Die Kontraktionskonstante kannst du doch einfacher berechnen:

Deine gesuchte Lösung liegt ja zwischen 3 und 4 .
also ist k =  sup ( f ' (x) ) über [3;4]
Und da  f ' ' (x) in dem Bereich negativ ist,
ist f ' monoton fallend, also das Maximum am
Anfang des Intervalls bei x=3 und beträgt etwa q = 0,03,
also kleiner 1.

Iteration mit Startwert 3 gibt
3
f(3)=ln(45) ungefähr 3,8
f(  ln(45) )  = ...    ungefähr 3,9218
f( 3,9218 )          ungefähr 3,9393
f( 3,9393 )        ungefähr 3,9419
.................                           3,9423
                                           3,9424
also Ergebnis  3,94

Schöne Erklärung des Verfahrens bei
http://www-math.uni-paderborn.de/~lichte/et8.pdf



 

Comments

Erstmal

Das Problem ist, dass wir in unserm Skript nur die obige Ungleichung zur Bestimmung der Kontraktionskonstanten stehen haben. Kann man sich dein Vorgehen dazu selbst herleiten oder ist das ein eigener Satz, den wir dann eben noch nicht besprochen haben, also nicht benutzen dürfen?

Auch wurde uns explizit gesagt das x nicht mit dem Taschenrechner anzunähern, sondern mit der Ungleichung abzuschätzen, die auch in deinem verlinkten Skript steht:

| x_n - x* | ≤ (qⁿ / (1 - q))*| x₀ - x₁ |

wobei q = Kontraktionskonstante, x₀ beliebig aus ℝ und x_n+1:= f(x_n) eine Folge ist, die gegen den Fixpunkt x* konvergiert.