Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass das nichtlineare Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt.

Question

Aufgabe:

Für \( 1 \leq i, k \leq n \) seien reelle Zahlen \( b_{i} \) und \( c_{i k} \) gegeben, so dass

\( \sum \limits_{i, k=1}^{n} c_{i k}^{2}<1 \)

Zeigen Sie mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass das nichtlineare Gleichungssystem

\( x_{i}=b_{i}+\sum \limits_{k=1}^{n} \sin \left(c_{i k} x_{k}\right), \quad 1 \leq i \leq n \)

genau eine Lösung besitzt.