Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes

Question

Meine Frage ist, warum der Nachfolgende Beweis genügt, um zu zeigen, dass der Grenzwert ^x einer strikten Kontraktion ein Fixpunkt ist.

Vielen Dank schon mal! 

Answer 1

Habe es mir doch selbst über legen können:

Der Beweis zeigt, dass x̂ gegen f(x̂) konvergiert; also "im Unendlichen" gilt:
x̂ = f(x̂)

Comments

EDIT: Danke für die Rückmeldung. Habe daraus (ausnahmsweise) eine Antwort gemacht, damit die Frage bei den "offenen Fragen" weg ist.

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Die "Antwort" strotzt alldings nur so vor Fehlern.

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@hj: Wenn du das erkennst, darfst du das gern genauer erläutern.

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x̂ konvergiert überhaupt nicht, sondern ist eine feste Zahl (nämlich der Grenzwert von (x_n)),
x̂ = f(x̂) gilt nicht im Unendlichen, sondern (das soll bewiesen werden) im Diesseits.

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Wenn ich da etwas falsch gedacht habe bitte ich doch um eine Erklärung.

Man zeigt durch diesen Beweis doch, dass der Abstand zwischen dem Grenzwert und seinem Folgewert gegen null geht, wenn n sehr große Werte annimmt; man nutzt aus, dass es eine Cauchy-Folge ist.

Betrachtet man den letzten Schritt ohne n gegen Unendlich laufen zu lassen ergibt er doch keinen Sinn, oder?