Aufgabe - Erzeugendensystem:
Sei \( V \) ein Vektorraum über \( \mathbb{R}, M \subseteq V \) und \( U=\operatorname{Lin}(M) . \) Begründen Sie die folgenden Aussagen anhand der Definitionen:
a) Ist \( \vec{w} \in M \) und \( \vec{w} \in \operatorname{Lin}\left(M^{\prime}\right) \) wobei \( M^{\prime}=M \backslash\{\vec{w}\} \), dann ist \( M^{\prime} \) ein Erzeugendensystem von \( U \).
b) Ist \( \vec{u} \in M \), dann ist auch \( M^{\prime \prime}=\{\vec{u}+\vec{v} \mid \vec{v} \in M\} \) ein Erzeugendensystem von \( U \).
Hinweis: Beachten Sie, dass man in jeweils zwei Inklusionen zeigen muss, nämlich Lin \( (M) \subseteq \) \( \operatorname{Lin}\left(M^{\prime}\right) \) und \( \operatorname{Lin}\left(M^{\prime}\right) \subseteq \operatorname{Lin}(M) \) (analog mit \( M^{\prime \prime} \) ). Sie können für Ihre Argumentation die folgenden Fakten verwenden. Sind \( N, N^{\prime} \) beliebige Teilmengen von \( V \), dann gilt
(1) \( N^{\prime} \subseteq N \Rightarrow \operatorname{Lin}\left(N^{\prime}\right) \subseteq \operatorname{Lin}(N) \quad \) und
(2) \( \quad N^{\prime} \subseteq \operatorname{Lin}(N) \Rightarrow \operatorname{Lin}\left(N^{\prime}\right) \subseteq \operatorname{Lin}(N) \)
