Erzeugendensystem, Teilmenge enthält Basis von Vektorraum

Question

Es sei K ein Körper und V ein endlich-erzeugter K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass jedes endliche Erzeugendensystem {v1,v2,…,vn}⊆V von V eine Teilmenge besitzt, die eine Basis von V ist.

Answer 1

a)  Wenn das Erzeugendensystem  E   lin. unabh. ist, dann ist es selbst eine

Basis.  Also die ges. Teilmenge die Menge selbst.

Wenn  E nicht lin. unabh. ist, dann gibt es mindestens ein Element v

in E, das durch die übrigen als Linearkomb. dargestellt werden kann.

Dieses kann man weglassen, und der Rest immer noch ein Erz.system

für V; denn durch Einsetzen genannten Darstellung  für v hat man

aus jeder Linear.komb. aller Elemente von E eine Linearkomb ohne v

gemacht.Wenn man diesen Schritt wiederholt, erhält man jedes Mal ein neues

Erzeugendensystem mit einem Element weniger, als das vorige.Das Ganze endet, wenn das erreichte Erzeugendensystem lin. unabh.ist,

Das sit dann die gesuchte Basis.