Für ein festes k aus den natürlichen Zahlen zeige man, dass der Limes der Folge gleich 0 ist.

Question

Hallo miteinander,

ich stelle erst einmal die Aufgabe vor.

Für ein festes k∈ℕ zeige man, dass $$ \lim _{ n\rightarrow ∞ }{ { \quad a }_{ n } } =\quad 0 $$ , wobei

$$ { { \quad a }_{ n } }=\quad \frac { { k }^{ n } }{ n! } $$


Nun zu meiner Frage.

Ich möchte nicht alles vorgerechnet bekommen sondern lediglich wissen, ob ich den "Sandwich-Satz" wie folg anwenden kann:

$$ \frac { 1 }{ n! } \quad \le \quad \frac { { k }^{ n } }{ n! } \quad \le \quad \frac { { n }^{ n } }{ n! }  $$

Vielen dank für eventuelle Antworten.

Answer 1

nein kannst du nicht, da die von dir gewählte Folge offensichtlich keine Nullfolge ist.

Gruß

Comments

Hi,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

du möchtest mir also sagen, dass es sich bei $$ \quad \frac { { n }^{ n } }{ n! } $$ um keine Nullfolge handelt ?

Oder vlt. anders.

Wie würdest du die größere Folge wählen?

Ich bin noch echt neu was den Satz anbelangt und weiß noch nicht genau wie es funktionier, oder wo eben meine Grenzen sind, was das wählen der Folgen anbelangt.

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Falls es noch nicht klar sein sollte: Ja.

Die gesuchte Folge muss eine Nullfolge sein und deine gegebene Folge nach oben abschätzen.

Beispiel: Die Folge \( c_n = \frac{k}{n} \cdot \frac{k^k}{k!} \) erfüllt diese Kriterien, wobei die Abschätzung erst für \( n \geq k \) greift.

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Ich habe mir nun folgendes ausgedacht.

$$ \frac { 1^n }{ n! } \quad \le \quad \frac { { k }^{ n } }{ n! } \quad \le \quad \frac { { (k+1)}^{ n } }{ n! } $$

Ich würde gerne argumentieren, dass sich $$ \quad \frac { { (k+1)}^{ n } }{ n! } $$ zerlegt in:

$$  \frac { (k+1) }{ n! } * \frac { (k+1) }{ n! }  * .... * \frac { (k+1) }{ n! }  $$ das ganze halt n-mal.

Mit den Rechenregeln für Grenzwert und $$ \lim _{ n\rightarrow ∞ }{ \frac { (k+1) }{ n! }  } =\quad 0 $$ ergibt sich dann, dass

$$ \lim _{ n\rightarrow ∞ }{ \frac { (k+1)^{ n } }{ n! }  } =\quad 0 $$

Zusammen mit dem Sandwichsatz ist dann:

$$ \lim _{ n\rightarrow ∞ }{ \frac { k^{ n } }{ n! }  } =\quad 0 $$

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Also 2 Kritikpunkte hier:

1. Logik -> wenn du zeigen kannst das \(\frac{(k+1)^n}{n!}\) eine Nulfolge ist dann brauchst du überhaupt gar kein Sandwich-Satz mehr.

2. Umformung -> 
$$ \frac{(k+1)^n}{n!} \neq \frac{k+1}{n!}  \cdot \frac{k+1}{n!} \cdots \frac{k+1}{n!}$$

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Erneut vielen Dank für die schnelle Antwort und deine Zeit.

Ich bleibe dran und werde mich bestimmt gleich noch mal melden :D

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Kein Thema beachte, dass ich dir oben einen Vorschlag für eine Folge gemacht habe, aber natürlich ist es in deinem Interesse wenn du selbst auf eine Folge kommst (oder natürlich direkt ohne Sandwich zeigen kannst, dass es sich um eine Nullfolge handelt) :).

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Könntest du mir vlt. deine Folge etwas genauer erklähren ?

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Klar, deine Idee mit der Aufteilung war ja an sich schon ein guter Ansatz.

Es ist ja

$$ \frac{k^n}{n!} = \frac{k}{n} \cdot \frac{k}{n-1} \cdots \frac{k}{2} \cdot \frac{k}{1} $$

Außerdem, wenn \( n > k \)

$$ \frac{k}{m} \leq 1 \quad \forall m \in \{k, k+1, ..., n \}$$

und somit

$$ \frac{k^n}{n!} \leq \frac{k}{n} \cdot \frac{k^k}{k!} = \frac{\gamma}{n} $$

Wobei

$$ \gamma := \frac{k^k}{(k-1)!} $$

ja einfach eine Zahl ist.

Answer 2

es gilt für genügend große \( n \):

\( \frac{k^n}{n!} = \prod_{i=1}^{n} \frac{k}{i} = \left( \prod_{i=1}^{k} \frac{k}{i} \right) \left( \prod_{i=k+1}^{n} \frac{k}{i} \right) \equiv K \prod_{i=k+1}^{n} \frac{k}{i} \).

Man sieht, dass \( K = \left( \prod_{i=1}^{k} \frac{k}{i} \right) \) eine Konstante ist.

Für \( \prod_{i=k+1}^{n} \frac{k}{i} \) gilt nun, dass es eine Nullfolge ist, denn

\( \prod_{i=k+1}^{n} \frac{k}{i} \leq \left( \frac{k}{n} \right)^{n-k} \leq \left( \frac{k}{k+1} \right)^{n-k} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \)

für genügend große \( n \) (\( n \geq k+1 \)).

Die Folge \( \left( \frac{k}{n} \right)^{n-k} \) ist sozusagen eine Majorante für die Folge \( \prod_{i=k+1}^{n} \frac{k}{i} \).

In einer Zeile geschrieben kann man es für genügend große \( n \) so formulieren:

\( \frac{k^n}{n!} = \left( \prod_{i=1}^{k} \frac{k}{i} \right) \left( \prod_{i=k+1}^{n} \frac{k}{i} \right) \leq\left( \prod_{i=1}^{k} \frac{k}{i} \right) \left( \frac{k}{k+1} \right)^{n-k} \rightarrow 0 \).

Schöne Grüße

Mister