Gleichung auflösen: p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} = m

Question

Aufgabe zum Auflösen von Gleichungen:

1) \( p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} = m \quad \rightarrow \quad X_{2}=\frac{m}{\rho_{2}}-\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} X_{1} \)

2) \( p_{1} x_{1}+p_{2} \frac{b p_{1}}{a p_{2}} x_{1}=m \)

\( \rightarrow x_{1}=\frac{a m}{(a+b) p_{1}} \) ?

3) \( p_{1} x_{1}+p_{2} a x_{1}=m \)

\( \rightarrow x_{1}=m /\left(P_{1}+a P_{2}\right) \) ?

Ansatz/Problem:

1) habe ich noch verstanden (nach X2)

2) verstehe ich nicht mehr. Wieso taucht das "a" sowohl im Nenner als auch im Zähler auf?

3) verstehe ich ebenfalls nicht (wieso m/p1+ap2?)

Answer 1

3. ganz formal betrachtet

p1 * x1 + p2 * a * x1 = m  | x1 ausklammern
x1 * ( p1 + p2 * a ) = m
x1 = m / ( p1 + p2 * a )

2. verstehe ich auch nicht

Comments

Bei 2. kann man genau so vorgehen und kommt auf das dortige Ergebnis (gut ein wenig kürzen und Brüchezusamenfassen wird in der Lösung übersprungen).

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2. hat mit 1. nichts zu tun
p2 kann direkt gekürzt werden

p1 * x1 + ( b * p1 ) / a * x1 = m
x1 * ( p1 + ( b * p1 / a ) = m
x1 * (  p1 * ( 1 + b / a ) )  = m
x1 =  m /  [   p1 * ( 1 + b / a ) ]  erweitern mit a / a
x1 =  am /  [   p1 * ( 1 + b / a ) * a ]
x1 =  am /  [   p1 * ( a + b  )  ]

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Danke erstmal! 

Zu 2) habe ich noch eine Frage:

wie genau hast du das P1 aus dem Bruch entfernt? 

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Auch eine allgemeine Frage zu 1)

Ich weiß zwar, dass man es so rechnet, aber warum (mathematisch) habe ich x2 = m/P2 - P1/P2 * X1

und nicht ... P1/P2 * X1/P2 ?

Danke Euch :)

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zu 2.)
handschriftlich ist es vielleicht etwas klarer

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Mein Umformungsweg von 1.)