Finde eine explizite und rekursive Folgendarstellung? (bn):=(-13,-12,-10,-7,-3,2,...), (dn):=(1,0,3,-2,5,-4,...)

Question

Kann mir eine bitte helfen? Jeweils explizite und rekursive Folgendarstellung für: 

(b_n): = (-13, -12, -10, -7, -3, 2, ...)

(d_n): = (1, 0, 3, -2, 5, -4, ...)

 

 

Answer 1

(b_n): = (-13, -12, -10, -7, -3, 2, ...)

b(1) = -13
b(n+1) = b(n) + n

b(n) = n^2/2 - n/2 - 13

 

(d_n): = (1, 0, 3, -2, 5, -4, ...)

d(1) = 1
d(n+1) = d(n) + (2n - 1) * (-1)^n

d(n) = (1 - n)·COS(pi·n) + 1

Comments

Danke für eure Antworten,ich glaube, dass ich das verstanden habe. Danke noch mal.

Answer 2

 

(b_n): = (-13, -12, -10, -7, -3, 2, ...)

(d_n): = (1, 0, 3, -2, 5, -4, ...)

Die rekursive Darstellung findest du in der Regel schneller. Danach musst du hoffen, dass du auch eine explizite Formel angeben kennst, weil du das Schema kennst.

(b_n): = (-13, -12, -10, -7, -3, 2, ...)

überleg dir, wie du von einem Folgenglied zum nächsten kommst. (am besten mit + oder *)

Hier: +1, +2, +3 , + 4, 

Also je nach dem, ob ihr mit bo oder b1 beginnt:

b2 = b1 + 1, b3 = b2 +2

bn+1 = bn + n

Nun direkt: 

b2 = b1 + 1, b3 = b2 +2 = b1 + 1 + 2 = -13 + 1 + 2 + 3

bn = bn-1 + n-1=… = - 13 + 1 + 2 + 3 + 4 + … + n-1

= -13 + arithmetische Reihe

= - 13 + (1 + n-1)*(n-1)/2

= - 13 + n(n-1)/2

(d_n): = (1, 0, 3, -2, 5, -4, ...)

-1, +3, -5, + 7

d2 = d1 - 1 = d1 + 1*(-1)

d3 = d2 + 3 = d2 + 3*(-1)^2

d4 = d3 - 5 = d3 + 5*(-1)^3

d5 = d4 + 7 = d4 + 7*(-1)^4

                |ungerade Zahlen 2n-1

allg: dn+1 = dn + (2n-1)*(-1)^n

Direkt: Abwechslungsweise gerade und ungerade Zahlen. Alternierend

n=2k gerade

d2 = 0, d4=-2

dn = d2k = -2k +2 = -n +2 = -n*(-1)^{n+1} + 2

n=2k-1 ungerade

d1=1, d3=3

dn = d2k-1 = 2k-1 = n = -n(-1)^{n+1} + 2*0

Um nun noch das +2 nur bei den geraden Zahlen zu addieren, kann man wie Mathecoach vorschlägt eine Winkelfunktion benutzen. Da cos(n*pi/2) = 0, -1, 0, 1, 0, -1,…, nehme ich (cos(n*pi/2))^2

dn = -n*(-1)^{n+1} + 2*(cos(n*pi/2))^2

Comments

danke für deine Antwort. Hast alles sehr ausführlich erklärt.

Answer 3

Die erste Folge ist ja einfach und bereits 2 fach beschrieben.

Die 2. kann neben den bereits beschriebenen Lösungswegen auch per

Interpolationspolynom  (http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html )

ermittelt werden (pow(x,y) = x hoch y = x^y ):

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(1-x)*(3+2*(x-5)*@Px-3,2)*x)/3@Ni=0;@B0]=1;@N@Bi+1]=@Bi]+(2*i+1)*@P-1,i+1);@Ci]=Fx(i);@Ni%3E19@N0@N0@N#

Es ist zwar eine andere Folge als die 2 mal beschriebene (sieht man ab Index 6), aber da keine Randbedingung vorgegeben, ist es auch eine gültige Lösung.

f(x) = (1-x)*(3+2*(x-5)*pow(x-3,2)*x)/3

Die rekursive Lösung dazu lautet Differenz: f(x+1)-f(x) also

aB[i+1]=aB[i]+(-3+2*i*(61+i*(-88+(38-5*i)*i)))/3;

Dann gibt es weitere Zahlenfolgen mit diesen Eigenschaften, die man unter

http://www.gerdlamprecht.de/Zahlenfolgen.html 

"Ab hier reicht einfache Punkt- & Strichrechnung nicht mehr aus! Auch Polynome sind hier nicht gesucht"

findet. Lösungslink sieht so aus

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(x+@P-1,x)+8*@P-1,floor(x/8)))*cos(PI*x)@Ni=0;@N@Bi]=Fx(i+7);@Ci]=(1-i)*cos(PI*i)+1;aD[i]=-(floor((i+17)/16)%5E((i+17)%256))*cos(PI*i);@Ni%3E19@N0@N0@N#

Für aB und aD ist der rekursive Algorithmus jedoch extrem schwer. Rekursive Algorithmen sind informationstechnisch gesehen "minderwertig", da

- langsamer

- eingeschränkter Geltungsbereich