explizite Folgen in rekursive Folgen umwandeln

Question

Hallo. Ich möchte wissen, wie man Folgen, die in der expliziten Darstellung gegeben sind, in rekursive Folgen umwandeln kann.

Als Bsp. hätte ich:
a_{n = 1/n; n>=1} 

a_n=n-3; n>= 1 

a_n= n/(n+1) ; n>= 1

dazu finde ich gar nichts, das einzige, was ich gefunden habe, ist wie man rekursive Folgen in explizite Folgen umwandeln kann, aber das brauche ich nicht...

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst mal bei jeder Folge ein belibieges Folgenglied \(a_n\) und seinen Nachfolger \(a_{n+1}\) betrachten. Jetzt kannst du einfach mal die Differenz von beiden betrachten oder deren Produkt oder Quotienten und so vergleichen, was dabei herauskommt. Danach stellst du das ganze nach deinen Nachfolger \(a_{n+1}\) um.

Beispiel zu \(a_n=\frac{1}{n}\).

$$ a_n\cdot a_{n+1}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n^2+n}\Leftrightarrow a_{n+1}=\frac{1}{a_n\cdot (n^2+n)},\quad a_1=1 $$

Comments

Eine Rekursion ist immer vom Vorgänger (oder Vorgängern) abhängig. Dabei ist es egal, wie dieser auftritt, ob mit linearen oder nicht linearen Vorfaktoren.

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also ich habe versucht nach diesem Prinzip n-3 umzuwandeln

a_n+1 = n+1-3 = n-2

a_{n *} a_n+1 = (n-3) * (n-2)

= n^2 -2n-3n +6 = n^2 - 5n + 6

jetzt noch durch a_n teilen

a_n+1 = (n^2 - 5n + 6)/(a_n)

wäre das eine Lösung?

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Da musst du aufpassen, weil du hier durch Null teilst. Ein geeigneterer Anastz ist zb \(a_{n+1}-a_n\) zu betrachten.

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@h97 : Deine Formulierung mit den Vorfaktoren trifft die Sache sicherlich nicht, wo sollten die etwa in As Lösung zu (3) oder in a₁=1 , a_n+1 = cos(a_n)  sein ?

Die Frage, auf die ich anspiele, heißt :"Darf in einer rekursiven Darstellung das n auch außerhalb eines Index' vorkommen ?" Deine Antwort lautet offenbar "ja" (womit du js Lösung zu (2) akzeptieren würdest), meine Antwort lautet "nein".
Kann jemand, der eine eindeutige Antwort kennt, dazu Stellung nehmen oder ist das Ansichtssache ?

@j : Ein Vorgehen, das bei den hier angegebenen Beispielen funktioniert, läuft so ab :
Löse die explizite Form von a_n nach n auf, setze das Ergebnis in die explizite Form bei a_n+1 ein, vereinfache.
Bsp (1) : a_n = 1/n  ⇒ n = 1/a_n ⇒ a_n+1 = 1/(n+1) = 1/(1/a_n+1) = a_n / (a_n+1)

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@döschwo, hallo, gast2016

Ich frage mich, warum der Einwand von Gast hj2166
als Spam gebranntmarkt wird, ohne vorher mal über den fachlichen Hintergrund nachzudenken.

Mit einer rekursiven Bildungsvorschrift berechnet man Folgenglieder einzig und allein aus vorherigen Folgengliedern und vor allem OHNE Verwendung des aktuellen Wertes n.

Der preigekrönte Vorschlag

\( a_{n+1}=\frac{1}{a_n\cdot (n^2+n)},\quad a_1=1 \)

ist ein Mischmasch aus expliziter und rekursiver Vorschrift, denn da ist jeweils die Verwendung des explizit auszurechnenden Terms n^2+n erforderlich.

Arsinoë4 hat das nachträglich WIRKLICH rekursiv gelöst.

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ok hab’s mit a_n+1 - a_{n =}  (n-2 )- (n-3) gelöst

= 1 | + a_n

a_{n+1 =} 1+a_{n
danke! :)} 

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Es gibt keinen nachvollziehbaren Grund auf Krampf einen Term versuchen zu finden, wo keine Ausdrücke wie \(n^2+n\) vorkommen und nur diese dann Rekursion zu nennen.

Denn mit dieser Analogie wäre ja auch bereits zb \(b_{n+1}=b_n+7, \quad b_0=11\) keine Rekursion, weil ja immer konstant eine 7 draufaddiert wird.

Ein Rekursionsausdruck ist im Allgemeinen immer von der Form \(a_{n+1}=T(a_n)\), wobei \(T\) ein Term ist, wo \(a_n\) drin vorkommt.

Answer 2

Ein anderer Vorschlag:$$(1)\quad a_{n+1}=\dfrac1{1+\dfrac1{a_n}},\quad a_1=1\\(2)\quad a_{n+1}=1+a_n,\quad a_1=-2\\(3)\quad a_{n+1}=\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{\dfrac1{a_n}-1}}},\quad a_1=\frac12$$

Comments

könnten Sie mir sagen wie Sie vorgegangen sind?

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