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Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat eine lokale Extremstelle bei x=3 und eine weiter lokale Extremstelle bei x= -1 Im Schnittpunkt P=(0/8) mit der 2. Achse ist die Steigung der Tangente -9. Ermittle die Termdarstellung der Funktion.

Ich habe mir gedacht, dass die Bedingungen so aussehen könnten

f (3)=0

f(3)=0

f(0)=8

f (0)=-9

f `(-1)=0

f(-1)=0

Ich bin mir echt nicht sicher, ob dasstimmt.

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Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat eine lokale Extremstelle bei x=3 und eine weiter lokale Extremstelle bei x= -1 Im Schnittpunkt P=(0/8) mit der 2. Achse ist die Steigung der Tangente -9. Ermittle die Termdarstellung der Funktion.

f'(3) = 0
f'(-1) = 0
f(0) = 8
f'(0) = -9

Die resultierenden Gleichungen

27a + 6b + c = 0

3a - 2b + c = 0

d = 8

c = -9

Kontroll-Lösung: f(x) = x^3 - 3·x^2 - 9·x + 8

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Oh, stimmt! Ich habe zu viele Bedingungen eingestzt. Gibt es irgendwie einen Trick, wie man solche Steckbriefaufgaben besser lösen kann. Ich sehe zwar immer wieder wichtige Hinweise heraus, doch dann weiß ich einfach nicht mehr weiter.

Zunächst musst du lernen die Bedingungen zu erkennen

Woher bekommst du die

f(3) = 0 --> Der Funktionswert an der Stelle 3 ist 0

f(-1) = 0 --> Der Funktionswert an der Stelle -1 ist 0.

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Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat eine lokale Extremstelle bei \(x=3\) und eine weiter lokale Extremstelle bei \(x= -1\) Im Schnittpunkt P\((0|8)\) mit der 2. Achse ist die Steigung der Tangente \(m=-9\).

\(f(x)=a[(x+1)^2(x-N)]\)

lokale Extremstelle bei \(x= -1\):

\(f'(x)=a[2(x+1)(x-N)+(x+1)^2]\)

lokale Extremstelle bei  \(x=3\):

\(f'(3)=a[2\cdot(3+1)(3-N)+(3+1)^2]=a(40-8N)=0\)

\(N=5\):

\(f'(x)=a[2\cdot (x+1)(x-5)+(x+1)^2]\)

P\((0|...)\) Steigung der Tangente \(m=-9\):

\(f'(0)=a[2\cdot (0+1)(0-5)+(0+1)^2]=-9a=-9\)

\(a=1\):

\(f(x)=(x+1)^2(x-5)]\)

\(f(0)=(0+1)^2(0-5)=-5\):

Hier ist nun der Schnittpunkt mit der 2. Achse Y\(0|-\red{5})\).

Er soll aber bei P\((0|\red{8})\) liegen:

\(p(x)=(x+1)^2(x-5)+\red{5}+\red{8}=(x+1)^2(x-5)+13\)

Unbenannt.JPG

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Wir berücksichtigen die Situation bei \(x=0\) und setzen an mit $$(1)\quad f(x)=ax^3+bx^2-9x+8$$und erhalten daraus die Ableitung $$(2)\quad f'(x)=3ax^2+2bx-9.$$ Nun berücksichtigen wir noch die beiden Extremstellen und notieren die Ableitung in ihrer Nullstellenform: $$(3)\quad f'(x)=3a\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$ Wir multiplizieren aus zu $$(4)\quad f'(x)=3ax^2-6ax-9a.$$ Ein Koeffizientenvergleich zwischen den beiden Formen \((4\) und \((2)\) liefert schnell $$(5)\quad a=1 \textrm{ und } b=-3.$$ Somit lautet das Ergebnis: $$(6)\quad f(x)=x^3-3x^2-9x+8$$

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