Lösen Sie das Anfangswertproblem. Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung. (inhomogene DGL 2. Ordnung)

Question

Aufgabe:

a) Lösen Sie dieses Anfangswertproblem:

\( x^{\prime \prime}-2 x^{\prime}+5 x=(5 t-1) \cdot \sin t, \quad x(0)=1, \quad x^{\prime}(0)=1 \)

b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung:

\( x^{\prime \prime}+x^{\prime}-6 x=e^{2 t}+e^{3 t} \)

Answer 1

Hi,

ganz allgemein, Du hast hier jeweils eine inhomogene lineare Dgl. 2-ter Ordnung vorliegen. Die löst man, in dem man die homogene Dgl. löst und eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. findet.

Die allgemeine Lösung ist dann \( y(t) = y_H(t) + y_P(t)  \)

Die homogene Dgl. löst man, in dem man das charakteristische Polynom, in Deinem Fall, 2-ter Ordnung löst.

Siehe z. B. hier: https://web.archive.org/web/20070724082946/http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/Tech.Bio/dglngesamt.pdf

Answer 2

Hallo,

\( x^{\prime \prime}+x^{\prime}-6 x=e^{2 t}+e^{3 t} \)

------>homogene Gleichung:

x'' +x'-6x=0

k^2 +k -6=0

k_1,2= -1/2 ±√(1/4 +6)

k_1,2= -1/2 ± 5/2

k₁= 2  → x₁= C₁ e^(2t)

k₂= -3 -----> x₂= C₂ e^(-3t)

x_h= x₁+x₂

_{Ansatz part.Lösung:}

_{xp1= t * A *e^(2t)}

_{xp2= B e^(3t)}

_xp=xp1+xp2

_usw.

_{------------------------------------------------------------------}

\( x^{\prime \prime}-2 x^{\prime}+5 x=(5 t-1) \cdot \sin t, \quad x(0)=1, \quad x^{\prime}(0)=1 \)

k_1,2= 1± 2i

x_h= C₁ e^t cos(2t) +C₂ e^t sin(2t)

x_p=A cos(t) +B *t cos(t) +C sin(t) +D *t sin(t)