Prüfe, ob die Reihen konvergieren

Question

Aufgabe:

Prüfe, ob die Reihen konvergieren:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-e)^{n-1}}{\pi^{n+1}}, \quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{3^{n}}, \quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n !}, \quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}}, \quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n ! 3^{n}}{n^{n}} \)

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}, \quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{1+n^{2}}} \)

Comments

Benutze bitte deine Unterlagen und dann die Suche, da findest du schon einiges. Bsp.

https://www.mathelounge.de/suche?q=konvergenz+fakultät+reihe

Was genau findest du nicht? Ist ja schlecht möglich, dass du euer ganzes Aufgabenblatt nicht lösen kannst.

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Es gibt Quotientenkriteruim, Wurzelkriterium, Majorante, Minorante. Leibnitzkriterium. Bestimmte Reihen sollte man kennen, harmonische Reihe, geometrische Reihe.

Answer 1

Die erste Reihe kannst du auch so schreiben
von n=1 bis unendlich über (-e)-1 * (-e)^n /  pi* pi^n
                                             = ( -e/pi)^n  * (-1/e*pi)
und weil Betrag von ( -e/pi) < 1 ist, konvergiert die Reihe mit ( -e/pi)^n

und du kannst den Rest rausziehen, gibt dann

(-1/e*pi)    *   Summe der geoReihe mit  ( -e/pi) 

=   (-1/e*pi)   *    1  / /  1- (-e)/pi )