Bestimmung der stationären Punkte helfen? f(x,y) = 3x^3 - xy + x +y

Question

Aufgabe:

(a) Für die Funktion \( f(x, y)=3 x^{3}-x y+3 y^{2}+x+y \) bestimme man die stationären Punkte und entscheide, ob dort Maxima oder Minima vorliegen.

(b) Für die Funktion aus (a) sind die Extremwerte unter der Nebenbedingung \( g(x, y)= \) \( x-y=0 \) zu bestimmen.

Ansatz/Problem:

Könnte mir jemand bei der Bestimmung der stationären Punkte helfen?

Also, ich weiß wie das geht:

(1) Grad stellen
(2) Grad = 0 stellen
(3) Hesse Matrix
(4) Definitheit bestimmen (indefinit-stationärer punkt; negativ definit - maximum, positiv definit - minimum)

Nur leider schafe ich nicht nach dem punkt (2).

Also, ableiten:
f/dx = 9x² - y + 1
f/dy = -x + 6y + 1

Jetzt weiß ich nicht was ich weiter machen soll, ich habe all möglichen kombinationen versucht:

die erste gleichung gegen y stellen und in die zweite stellen, die zweite gegen x oder y stellen und in die erste gleichung stellen, zweite gleichung + erste; erste - zweite und so weiter. aber jedes mall kommt mir etwas raus so wie hier:

(II) x = 6y + 1 (in die erste gleichung stellen:

9(6y + 1)² - y + 1 =0
9( 36y² + 12y + 1) - y + 1 = 0
324y² + 108y + 9 -y + 1 = 0
342y² + 107y + 10 = 0

D = b² - 4ac => (107)² - 4*324*10 => 11449 - 12960 = - 1511

Y_1,2 = (-b ± √D)/2a = > (-107 ± √-1511)/648.

Doch das geht nicht weiter.

Geht das?? Hat irgend jemand da eine ide??

Answer 1

Also Deine Lösungen sind korrekt aber imaginär. Suchst Du reelle staionäre Punkte bist Du hier am Ende, denn die gibt es nicht.

Comments

und was soll ich jetzt machen??? also gibt es die Stationären punkte nicht??

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Ja genau.                  

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ok, und was mache ich jetzt mit der nebenbedingung g(x,y) unter (b)???

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Die Lagrangefunktion lautet

$$  L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) $$

Du musst \( L_x = 0 \), \( L_y = 0 \) und \( L_\lambda = 0 \) nach \( x, y, \lambda \) auflösen und dann die Hessematrix berechnen.

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Warte, meinst du so: L(x,y,λ) = 3x³ - xy + 3y² +x + y + λ(x-y) = > => 3x³ - xy + 3y² +x + y + λx - λy
L_x = 9x² - y + 1 + λ =0 (I) L_y = -x + 6y + 1 - λ =0 (II) L_λ = x - y                 =0 (III)
Aber jetzt kommt da ein problem für mich. So zum bsp: (III) ich stelle x = y (II) stelle ich nach λ um und bekomme: λ = 6y - x + 1, das stelle ich in (I)
und bekomme: 9x² - y + 1 + 6y - x + 1 = 0 =>
=> 9x² + 5y - x + 2 = 0 (X=y einsetzen) =>
=> 9y² + 5y - y + 2 =0 =>
=> 9y² + 4y + 2 = 0 D = b² - 4ac 
   = (4)² - 4*2*9 = 16 - 72
D = - 56 Ich habe schon wieder eine negative diskriminante und ich komme nicht weiter. Mach ich irgendwo einen fehler oder bin ich stroh dumm???