Kompliziert zusammengesetztes Flächenstück berechnen

Question

~plot~abs(1/x);2x^2-1;2~plot~

Das von diesen drei Funktionen eingeschlossene Flächenstück soll berechnet werden.

$$\underbrace{\int_{-\sqrt{\frac {3}{2}}}^{\sqrt{\frac {3}{2}}}h(x)dx}_{rechteckige Fläche} -\underbrace{2\int_{-\sqrt{\frac {3}{2}}}^{\sqrt {\frac {1}{2}}}g(x)dx}_{Fläche unter g(x)}...$$

Komme nur so weit, wie ich allerdings die zwei Teilflächen an den oberen Ecken abziehen soll, ist mir schleierhaft.

Answer 1

1/x = 2 --> x = 0.5

1/x = 2·x^2 - 1 --> x = 1

2 * (∫(2 - (2·x^2 - 1), x, 0, 0.5) + ∫((1/x) - (2·x^2 - 1), x, 0.5, 1)) = 4.053

Comments

Fehlerhinweis

Schnittpunkt blau / rot ist nicht
1/2 = 2·x² - 1 --> x = √3/2

sondern
1 / x = 2·x² - 1
x = 1
( siehe den Graph )

mfg Georg
( Fehlerhinweis ohne Gewähr )

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Ist richtig. War ein cut and paste Fehler.

Außerdem bin ich heute nicht ganz bei der Sache. Ich habe gerade auf dem Tisch ein paar Präsentationsleistungen die ich betreue.

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Ist ja schon oft gesagt worden :
Keiner ist perfekt. Weder ich noch du noch sonst wer.
Das hat tbisher noch niemand geschafft und
wird auch keiner schaffen.

Answer 2

Etwas ausführlicher

Es braucht nur die rechte Hälfte ( 1.Quadrant )
berechnet zu werden. Die Gesamtfläche ist dann mal 2.

Ich würde in 2 Teile unterteilen.

1.) Schnittpunkt grün und blau
1/x = 2
x = 1/2
Dann die Differenzfläche zwischn grün und rot  in den Grenzen 0 und 1/2
∫ 2 - ( 2*x^2 -1 ) dx
17/12

2.) Schnittpunkt blau / rot
1/x = 2x^2 - 1
x = 1

Differenzfläche blau - rot zwischen 0.5 und 1
∫ 1 / x - ( 2*x^2 -1 ) dx
0.61

17/12  + 0.61 = 2.027

2.027 * 2 = 4.054

Alle Angaben ohne Gewähr.

Comments

Hallo Georg, das scheint richtig zu sein, ML weicht geringfügig ab:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2ln%282%29+%2B+8%2F3
Aber wegen 0.002 machen wir kein Büro auf, wie es sich so schön heisst. :D

Doch verstehen kann ich das ganze noch nicht ganz. Nehmen wir mal 1). Differenzfläche zwischen grün und rot. Grün in diesem Intervall liefert ein Rechteck. Rot müsste doch in diesem Intervall aber negativ werden, oder? Weil der Teil in diesem Intervall unter der x-Achse verläuft. Daher würde dann keine Differenz erfolgen, sondern eine Summe, wenn ich das - vor Deiner Klammer berücksichtige. Aber das wollen wir ja eigentlich, fällt mir gerade ein, der Teil gehört auch dazu. Ich bin nur etwas verwirrt, weil wir hier zwar etwas abziehen, dann aber mehr erhalten.

Ok, bei 2) zuerst blau, und mit rot ziehen wir dann den Teil rechts ab. Aber: Wir ziehen ja auch noch einen kleinen Teil unter der x-Achse ab, dort verläuft ein Teil der Funktion unterhalb in diesem Intervall. Ist das vielleicht die Ungenauigkeit?

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Die Differenz zwischen grün und rot ist stets
d ( x ) = 2 - ( 2 * x^2 -1 )
Du brauchst dich um den Verlauf der Kurven nicht zu kümmern.

Falls du es nicht glaubst dann berechne
d ( 0 ) , d ( -1 ) ,d ( 2 ) und vergelche die Werte mit den
abzulesenden Werten in Graph.

Oder hier die Graphen der Differnenzfunktion

~plot~  2 - ( 2 * x^2 -1 ) ~plot~

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Blau minus rot
Bei der Aufgabe zählt nur der Bereich zwischen 0.5 und 1

~plot~ 1/x - ( 2 * x^2 -1 ) ~plot~

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Hallo Georg, grün minus rot macht Sinn.

Blau minus rot...irgendwie noch nicht so. Ich versuch mal mein Unverständnis zu formulieren.

Blau macht Sinn, bei rot ist es aber so, dass die Kurve von 0.5 bis (0.5)^{1/2} (Nullstelle von rot) unter der x-Achse verläuft. Aber (0.5)^{1/2} bis 1 verläuft sie über der Achse. Du ziehst nun von der blauen Fläche die rote Fläche ab. Jedoch liefert uns die rote Fläche im Intervall 0.5 bis 1 nicht die tatsächliche Fläche, sondern die positive Fläche minus die negative Fläche. Wir ziehen also zu wenig ab.

Wo liegt bitte mein Denkfehler?

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Noch eine ergänzende Anmerkung: Angenommen, ich möchte die Fläche der roten Kurve im Intervall 0.5 bis 1 berechnen, dann müsste ich ja zuerst den Betrag im Intervall 0.5 bis (0.5)^{1/2} berechnen (weil dort die Fläche negativ ist) zuzüglich die Fläche von (0.5)^{1/2} bis 1.

So haben wir das gelernt. Daher bin ich oben eben verwirrt.

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blau minus rot
Ich integriere nocht nicht und bilde noch keine Fläche.

Ich stelle zunächst die Differenz oder Differenzfunktion auf
d ( x )  = 1 / x - ( 2*x² -1 )

dann bilde ich die Stammfunktion
∫ 1 / x - ( 2*x² -1 ) dx
∫ 1 / x - 2*x² +1  dx
ln ( x ) - 2 * x^3/3 + x
Dann wird integriert zwischen
[ ln ( x ) - 2 * x^3/3 + x ]_0.5¹
0.61

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Locker vom Hocker oder es bleibt kompliziert.

Ich schiebe einmal beide Funktionen um 1 nach oben.
Dann sind beide Funktionen im positiven Bereich.

~plot~ 1/x + 1 ; 2*x^2 ~plot~

Die Differenzfunktion ist dieselbe geblieben.

alt
1/x - ( 2 * x^2 - 1 ) = 1/x - 2*x^2 + 1

neu
1/x + 1 - 2*x^2 = 1/x - 2*x^2 + 1