Ordnungsrelation. größer, kleiner --- Beweise

Question

Zeigen Sie, dass die Ordnungsrelation, \( "<"\) auf der Menge der ganzen Zahlen \( \mathbb{Z} \) die beiden folgenden Regeln erfüllt:

(a) Für alle \( a, b, c \in \mathbb{Z} \) gilt mit \( a<b \) auch \( a+c<b+c \)

(b) Für alle \( a, b, c \in \mathbb{Z} \) gilt mit \( a<b \) die Ungleichung

\( a \cdot c<b \cdot c, \) falls \( c>0, \quad \) bzw. \( \quad a \cdot c>b \cdot c, \) falls \( c<0 \)

Hinweis: Man beweise zuerst, dass für zwei Zahlen \( a, b \in \mathbb{Z} \) die Relation \( a<b \) äquivalent
zur Relation \( b-a>0 \) ist.

Ich denke, man kann das mit vollständiger Induktion zeigen, oder? und wie mache ich das?

Answer 1

Mit dem Hinweis hast du doch

a < b

⇔ b - a > 0 

⇔ b + c  - ( a + c ) > 0

⇔ b +c  >   a  + c

so ähnlich:

a < b    und  c > 0

⇔ b - a > 0     und   c > 0

⇔ (b - a) * c  > 0     weil das Produkt zweier pos. Zahlen pos. ist

⇔ b*c - a*c  > 0

⇔ b*c > a*c

mit c < 0 so ähnlich

Comments

oh dankee!

wie beweise ich den Hinweis? weil um ihn zu verwenden, muss ich ihn noch beweisen

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wie habt ihr denn a < b definiert ?

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$$ -a<-b \iff  a>b $$
bzw. das gleich efür $$"\ge"und"\leq"$$