Funktion f(x) =x^2 +x + 1 ist im gesamten Definitionsbereich stetig. δ>0 bestimmen, sd |f(x)-f(2)|<ε für alle x∈Uδ(2)

Question

hallo bräuchte mal eure Hilfe...

Aufgabe: Funktion f : ℝ→ℝ mit f(x) =x²  +x + 1 ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Bestimme zu ε>0 explizit ein δ > 0, so dass |f(x)-f(2)| < ε für alle x ∈ U_δ (2) gilt.

gruß

Answer 1

|f(x)-f(2)| = |x^2 +x +1 -7| = |x^2 +x -6| = | (x-2) * ( x+3) | =  | (x-2)| * | ( x+3) | <  δ * 6

denn wenn  x ∈ U_δ (2) und    δ < 1 dann ist  |  ( x+3) | < 6

dann gilt also |f(x)-f(2)| < ε  jedenfalls für    δ < 1

falls    δ * 6  <   ε   also       δ   <   ε  /  6

Wähle also     δ  = min { 1 ;    ε  /  6 } dann gilt es.

Comments

danke mathef für deine Hilfe...

aber ich versteh noch nicht ganz wie du auf die 6 kommst?

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falls   δ < 1 und x aus U_δ (2)= ] 2-δ  ;   2+δ [ liegt

x sicher zwischen 1 und 3 und damit x+3 zwischen 4 und 6 ist

also im Betrag garantiert < 6