Zeigen, dass Menge ein Untervektorraum ist (mit bestimmtem Parameter)

Question

Für die folgende Menge mit α ∈ R

\( U_{\alpha}=\left\{\vec{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}+x_{2}+x_{3}=\alpha\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \)

Wie zeigt man, dass U_α ein UVR von R3  ist nur dann, wenn α = 0 ist?

Answer 1

wenn a ungleich 0 ist und du
hast zwei Elemente x,y von Ua dann gilt für deren Summe
(x1+y1)+(x2+y2) + (x3+y3= 2*a ungleich a  (weil a ungleich 0)
also ist die Summe kein El. von U, also kein Unterraum.

Bei a=0 ist die Summe aus U  ( weil 2*0 = 0 )
und auch sowas wie mit z aus R
z*vektor x ist aus U also U Unterraum von R^3 .
Wer immer die Aufgabe gestellt hat, sollte darauf hingewiesen
werden, dass alles in R^3 ( nicht wie in der Def. von U in R^2 ) stattfindet.

Comments

\(U_0\) ist als Ursprungsebene sicher ein Unterraum des \(\mathbb{R}^3\), während die \(U_{\alpha\ne 0}\) als affine Ebenen nicht den Nullvektor enthalten und schon deshalb keine Unterräume sein können.

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Und auch warum in der Aufgabe steht x=(x1,x2,x3)∈R2  Vektor x hat 3 Koordinaten daher ist es R³ oder?

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Also bisher habe ich den Beweis Mithilfe der Axiomen gemacht, aber verstehe noch nicht wie kann ich nachweisen ,dass alles in R3 stattfindet. Das ist irgendwie verbunden mit meiner Frage oben. x1, x2 und x3 können in R 2 sein muss, wenn einer von denen =0 ist und  dann x1+X2+X3=0 sein können wenn einer ist Null und die andere zwei haben verschiedene Vorzeichen?

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Das mit dem R^2 ist wohl einfach nur ein Druckfehler.

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achso, habe am Anfang  so gedacht aber war nicht sicher.