Beweisen L(A)=leer wenn falls b eine Spalte in A/ m<n uvm.

Question

Aufgabe:

Sei \( \hat{A}=(A, b) \) die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystem mit einer \( m \times n \)-Matrix \( A \) und \( b \in \mathbb{R}^{m} \) und sei \( \mathcal{L}(\hat{A}) \) die Lösungsmenge von \( \hat{A} \), bzw. \( \mathcal{L}(A) \) die Lösungsmenge von \( A=(A, 0) \). Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

a) \( \mathcal{L}(\hat{A})=\emptyset \), falls \( b \) als Spalte in \( A \) auftritt.

b) \( \mathcal{L}(\hat{A})=\emptyset \), falls \( m<n \).

c) \( \mathcal{L}(\hat{A}) \) besteht aus genau einem Element, falls \( m=n \).

d) Sind \( x, y \in \mathcal{L}(A) \), dann ist auch \( x+y \in \mathcal{L}(A) \).

Answer 1

a) ist falsch, wenn b z.B. die zweite Spalte ist, ist eine Lösung
x2=1 und alle anderen xi = 0.
b) wenn A-dach so aussieht
1 0 0 1
1 0 0 1
ist m=2 und n=3 aber eine Losung ist x1=1 x2=0 x3=0
also auch falsch.
c)
1 0 1
1 0 1
m=n=2 aber Lösungen sind z.B.
x1=1 und x2=0 aber auch
x1 =1  und x2= 14,6
d) richtig, denn dann ist
A*x = 0 und A*y = 0 also auch A (x+y) = 0