Matrix und Summe über Spalten und Zeilen

Question

Angenommen ich habe folgende 3 x 3 Matrix:

010

001

110

dann ist die Summe über die erste Zeile und Spalte: 1, also gleich. In der zweiten Zeile ist die Summe 1, aber die Summe über die zweite Spalte 2, also ungleich.

Erhöhe ich in Zeile 2 und Spalte 3 den Wert von 1 auf auf 2, dann gilt für die Summen, das sie gleich sind.

010

002

110

 

Nun zu meiner Frage: wie muss eine Matrix beschaffen sein, das ich durch anheben einzelner Werte (nur da wo schon eine Zahl > 0 steht anheben +i mit i Ganzzahlig) die Gleichheit der Summen erreichen kann?

Answer 1

Interessante Frage!

 

Aber: Wie oft darf man abheben? Wenn dies unbegrenzt ist, sieht die Lösung leicht aus:

Verfahren:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow ... $$

Du hebst einfach immer weiter mit (-1) ab, bis du die Nullmatrix hast! 

 

Gruß...

Comments

Die Frage ist wie eine Matrix beschaffen sein muss damit man einzelne Werte anheben oder absenken darf.

Ich denke eine Argumentation über ein Gleichungssystem kann hilfreich sein.

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Die Regel im Bezug auf die Anwendung, die dahinter steckt, ist, dass Werte in der Ursprungsmatrix nur angehoben werden dürfen, nicht aber - wie von Dir vorgeschlagen - verringert werden dürfen. Und nur Werte in der Ursprungsmatrix > 0 dürfen angehoben werden, also z.B. 1 -> 2 oder 1 -> 3, usw. Die Matrixelemente, die in der Ursprungsmatrix den Wert Null haben, dürfen nicht angefasst werden und bleiben unverändert. Die Ursprungsmatrix enthält keine negativen Werte.

Ziel ist wie gesagt, dass die Ursprungsmatrix durch Anheben einzelner Werte so umgebaut werden soll, dass in der Zielmatrix die Summe der Zeilenelemente Z(i) und die Summe der Spaltenelemente S(i) durch das Anheben einzelner Werte für gleiche i's identisch wird, wobei i=1...3 die Zeilen-/Spaltennummer ist, so dass nach dem Anheben gilt

a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ = a₁₁ + a₂₁ + a₃₁ und

a₂₁ + a₂₂ + a₂₃ = a₁₂ + a₂₂ + a₃₂ sowie

a₃₁ + a₃₂ + a₃₃ = a₁₃ + a₂₃ + a_33.

Die Frage ist, ob man der Ursprungsmatrix ansehen kann, ob das möglich ist. Oder geht es gar mit jeder Matrix mit ganzzahligen Werten (>0)? Das kann ich mir wiederum nicht vorstellen wie folgendes Beispiel zeigt:

0 1 1

0 0 0

0 0 0

Bei dieser Matrix ist die Summe in der ersten Zeile = 2. Die erste Spalte enthält jedoch nur Nullen. Da können also keine Werte so angehoben werden, das die Summe in der ersten Spalte auch 2 ergibt.

Es müße also irgendwelche Regeln geben, die definieren, in welchen Fällen die Matrix entsprechend umgebaut werden kann und in welchen Fällen nicht.

Gruß

Rainer

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Mit i element Z. Also darf doch auch eine negative Zahl genommen werden, also verringert.

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Noch ein Kommentar zur Beispielmatrix

011

000

000

die nahe legt, dass Gleichheit der Zeilen- und Spaltensummen nur dann erreicht werden kann, wenn bei einer Zeilensumme > 0 auch eine dazugehörende Spaltensumme > 0 exisitert. Das scheint mir aber kein ausreichendes Kriterium zu sein.

Bei folgender Matrix sind alle Zeilen- und Spaltensummen > 0:

011

010

100

Trotzdem lassen sich die bestehenden 1-Werte nicht so "aufpäppeln", dass Zeilensumme(i) = Spaltensumme(i) gilt (für i = 1...3).

Da ist guter Rat teuer!

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Theoretisch könnte man die Werte auch verringern, das passt aber wie gesagt nicht auf die Anwendung die dahinter steckt. Es gibt also folgende Nebenbedingungen:

1) Die Ursprungsmatrix enthält positive ganze Zahlen einschließlich Null

2) Nur Zählen > 0 dürfen verändert werden

3) Die Zahlen dürfen nur angehoben werden und nicht verringert

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Mit beschaffen ist doch der Aufbau der Matrix gemeint?