habe hier ein beispiel mit lösung kann mir das jemand vielleicht ausführlich erklären

Question

Beispiel: f(z) = -1/z*(z-1) ist holomorph auf U=C/{0,1}.

Zum Entwicklungspunkt z0=0 gibt es zwei Entwicklungen in zwei verschiedenen Ringgebieten:

Für z aus RG(0,1,0) gilt      f(z)= 1/z*1/(1-z)=1/z * Σ z^n

Für z aus RG (0,unendlich,1) gilt  f(z)= -1/z * 1/(z-1)= -1/z^2 * 1/(1-1/z) = -1/z^2 * Σ (1/z)^n

Nun zu meinen Fragen wie kommt man auf die Ringgebiete und wie entwickelt man ist ganz wichtig also was ziehe ich raus woher weiss man wie man entwckelt und was rausgezogen wird bitte um ausführliche antwort in den büchern habe ich das auch nicht verstanden

dankeschon mal im Voraus

Answer 1

f(z) = -1/  (  z*(z-1)  )  ist ja wohl gemeint., also   f(z) = -1/z  *  1 /(z-1)  )  =  1/z  *  1 / (1-z)
und das Ganze basiert auf der unendlichen geometrischen Reihe  Σ qⁿ
Die konvergiert für |q| < 1 und zwar gegen  1 / ( 1 - q )

wenn du das mit   f(z) =  1/z  *  1 / (1-z)   vergleichst, siehst du gleich, dass der
zweite Faktor genau der Grenzwert der unendlichen geo. Reihe ist also
   f(z) =  1/z  *  Σ zⁿ    aber eben nur für |z| < 1 wie im 1. Gebiet.

Im zweiten Gebiet ist |z| > 1 also  |1/z| < 1 und deshalb konvergiert dort die
Reihe mit q=1/z .  und zwar gegen 1 / (1 - q ) =  1 / ( 1 - 1/z )
Um diesen Ausdruck in der Funktionsgleichung zu erhalten, wird sie halt umgeformt:

  f(z) = -1/z  *  1 /(z-1)  )  = -1 / z^2 *  z / ( z-1)   und dann den 2. Bruch mit z kürzen
= -1 / z^2 *  1 / ( 1-1/z).
Dann ist der 2. Bruch wieder der Grenzwert der geo-Reihe mit q= 1/z also
f(z)   =  -1/z² * Σ (1/z)ⁿ