Konvergenzradien von Potenzreihen bestimmen

Question

Benötige Hilfe bei der Bestimmung einiger Konvergenzradien. Habe zu einigen Ansätze bzw. Ergebnisse und bräuchte dort Bestätigung bzw. Korrektur.

a)Hier hab ich mit einigen Potenzgesetzen den Bruch vereinfacht,sodass ich das Wurzelktiterium anwenden konnte.Anschließend hab ich mit 1/n^2 erweitert und herausgefunden das der Grenzwert gegen 5/3 geht. Hieraus folgere ich dann, dass der Konvergenzradius genau der Kehrwert ist, also 3/5.Stimmt das?

b)Hier hab ich zuerst (x-pi) Substituiert und dann versucht das Quotientenkriterium anzuwenden, komme aber ab einem gewissen punkt nicht mehr weiter, da sich teile des Zählers/Nenners nicht miteinander kürzen lassen.Als Tipp hab ich bereits bekommen Formelsammlung aber das hat mir nicht viel geholfen.

Meine letzte Vereinfachung ist (n+1)^{3n+3} / (3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*n^3n

c)Hier hab ich zuerst 4! ausgerechnet und dannn das (x+24) Substituiert. Anschließend Quotientenkriterium angewendet und finde dadurch heraus der Grenzwert geht gegen unendlich. Daraus schließe ich der Konvergenzradius ist 0. Nach Resubstitution ist der logischerweise immer noch 0

d)Hier hab ich Versucht Quotientenkriterium anzuwenden,aber irgendwie hilft mir das überhaupt nicht weiter.Würde mich hie rüber eine Lösung freuen.

e)Hier hab ich auch überhaupt keine Ahnung. Bin davon ausgegangen,dass sich das gegebene in eine Potenzreihe umformen lässt. In der Formelsammlung hab ich zumindest nichts gefunden. Außerdem ist komisch,dass diese Reihe im Prinzip ein Ende hat. keine Ahnung wie ich hiervon einen Konvergenzradius bestimmen kann.

Zusatzfrage: Generell wird ja  in der Aufgabenstellung nur der Konvergenzradius gefragt d.h ich muss doch z.b in Aufgabe a) nur den Konvergenzradius bestimmen, mir aber nicht die Grenzen selbst anschaun ob die Konvergiern oder?

Answer 1

e)Hier hab ich auch überhaupt keine Ahnung. Bin davon ausgegangen,dass sich das gegebene in eine Potenzreihe umformen lässt. In der Formelsammlung hab ich zumindest nichts gefunden. Außerdem ist komisch,dass diese Reihe im Prinzip ein Ende hat. keine Ahnung wie ich hiervon einen Konvergenzradius bestimmen kann.

Die folgenden Reihenglieder haben alle als Koeffizienten eine 0. Also konvergiert die
Reihe für jedes x gegen den Term, der da steht, und damit ist der Konv.rad. unendlich.

d) hier würde ich versuchen den GW von an / an+1 zu bestimmen, weil ab 2011 alle Koeffizienten
ungleich 0 sind.
Das gibt
(1 + pi^n * n^2 )  /  ( 1 + pi ⁿ⁺¹ * (n+1) ^2 )  mit   pi^n * n^2 kürzen
= (   1 / ( pi^n * n^2)     +  1    )   /    (    1 / ( pi^n * n^2 )  +    pi*(n+1)^2 / n^2      )
= (   1 / ( pi^n * n^2)      + 1    )      /    (    1 / ( pi^n * n^2 )  +    pi*(n+1)^2 / n^2     )
= (   1 / ( pi^n * n^2)      + 1    )      /    (    1 / ( pi^n * n^2 )  +    pi*((n+1)/n)^2  )
jetzt Grenzwertsätze gibt für den Konv. radius

  r =    (  0    +   1  )  /   (   0    +   pi *  1^2 )   =    1 / ( 1+pi)

Comments

Müsste nach deienr letzten rechnung nicht 1/pi rauskommen?

---

jc7400: Das würde ich auf den ersten Blick auch so sehen. Habe allerdings nicht alles nachgerechnet.