Konvergenzradien bestimmen | Potenzreihen

Question

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(i) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(5^{k}+2^{-k+1}\right) x^{k}, \quad \) (ii) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3 \sqrt{k}}(x-4)^{k} \).
Welche Funktion wird durch die Potenzreihe in (i) dargestellt? Untersuchen Sie für die Potenzreihe in (ii) das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervalls.

Wie genau funktioniert das hier?

Answer 1

Aloha :)

zu i) Wir bestimmen zuerst den Konvergenzradius:$$r_1=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}}=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{5^k+2^{-k+1}}}=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{5^k+\frac{2}{2^k}}}=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\left(\sqrt[k]{5^k}\cdot\sqrt[k]{1+\frac{2}{10^k}}\right)}=\frac15$$und nun innerhalb des Konvergenzradius \(|x|<\frac15\) die dargestellte Funktion:$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty(5^k+2^{-k+1})x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty(5x)^k+2\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac x2\right)^k=\frac{1}{1-5x}+\frac{2}{1-\frac x2}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{1}{1-5x}+\frac{4}{2-x}=\frac{6-21x}{(1-5x)(2-x)}$$

zu ii) Hier soll der Konvergenzradius bestimmt werden$$r_2=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{3\sqrt{k}}}{\frac{1}{3\sqrt{k+1}}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt{1+\frac1k}=1$$und das Konvergenz-Verhalten an den Rändern \(|x-4|=r_2=1\) untersucht werden:$$(x-4)=1\implies S=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{3\sqrt k}=\frac13\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt k}>\frac13\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\to\infty$$$$(x-4)=-1\implies S=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{3\sqrt k}=\frac13\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{1}{\sqrt k}\to\text{const}$$Da \(\frac{1}{\sqrt k}\) eine monotone Nullfolge ist, konvergiert die alternierende Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Verwende den Grenzwert von \( \frac{5^{k}+2^{-k+1} }{5^{k+1}+2^{-k} }\)

Kürze mit 5^k  das gibt \(  \frac{ 1+\frac{2^{-k+1}}{5^{k}}} {  5+\frac{2^{-k}}{5^{k}}    }  \)

Der Grenzwert und damit der Konvergenzradius ist 1/5.

Bei (ii) entsprechend  \( \frac { \frac{1}{3 \sqrt{k}} }{ \frac{1}{3 \sqrt{k+1}} } = \frac{ \sqrt{k+1}}{ \sqrt{k}}\)

mit Grenzwert 1.