Konvergenzradien von Potenzreihen

Question

LAufgabe:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{  } \)   5^k+4 / 3^k+2 +1 * z^k

Problem/Ansatz:

Konvergenzradien der Potenzreihe bestimmen

Ich habe mit dem Wurzelkriterium berechnet, dass

a_k= 5^k+4 / 3^k+2 +1 Divergiert also >1

Stimmt das ?

Durch 5^k+4 ist der Zäjler größer als den Nenner und somit wird der Bruch immer größer.

\( \frac{5}{4} \) >1

Comments

Hallo

steht da wirklich 5^4/3^2*(5/3)^k+1*z^k

das ist seltsam

lul

Answer 1

Ist wohl so: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}  \frac { 5^{k+4}} { 3^{k+2} +1} \cdot z^k $$

Mit Quotientenkriterium zu betrachten \(  \frac {a_n}{a_{n+1}}  \)

Das gibt

\(  \frac { \frac { 5^{k+4}} { 3^{k+2} +1}} { \frac { 5^{k+5}} { 3^{k+3} +1}}   = \frac {5^{k+4} (3^{k+3} + 1 )}{5^{k+5} (3^{k+2} + 1 )} =  \frac {3^{k+3} + 1 }{5 (3^{k+2} + 1 )} \)

mit   \( 3^{k+2} \) kürzen gibt

\( =  \frac {3 + \frac {1}{3^{k+2}} }{5 (1 + \frac {1}{3^{k+2} })} \)

und für k gegen unendlich ist der Grenzwert (und

damit der Konv.rad) gleich 3/5.

Du hast bei deinem Argument übersehen, dass bei |z| < 1 der Faktor vor dem

z ruhig einen Betrag größer 1 haben kann, und es konvergiert trotzdem.

Comments

Also betrifft das |z| <1 oder |z|>1 nicht die Folge a_k hätte man das auch mit dem Wurzel berechnen können ?

---

Ja das geht auch (meistens geht beides).

Du betrachtest also (falls existent) lim (n gegen unendlich) n-te Wurzel |an|

und der Kehrwert ist dann der Konv.rad.

\(  \frac {5\sqrt[k]{5^4}} {3(\sqrt[k]{3^2+ \frac {1}{3^k}})} \)

da gibt es den lim 5/3 also auch r=3/5.

---

Dh. dann lag ich mit meinen lim 5/4 nicht so ganz falsch bestimmt irgendwo ein VZ - Fehler, r=4/5.

Vielen Dank