Aufgabe:
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
a) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 3^{\sqrt{k}} x^{k} \)
b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(2+4(-1)^{k}\right)^{-k} x^{k} \)
c) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{k}+e^{-k}}{2} x^{k} \)
Ansätze:
Ich habe bei a) folgendes geschrieben:
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|=\frac{3^{\sqrt{k}}}{3^{\sqrt{k}+1}}=\frac{3}{3^{1}}=1 \)
Also ich habe einfach zuerst √k gekürzt, wonach ich 3 geteilt durch 31 hatte. Da 31 gelöst 3 ergeben, konnte ich aus 3/3 am Ende die 1 entnehmen.
Noch bin ich nicht weiter gekommen, aber vielleicht könnte mir ja jemand sagen, ob ich denn auf dem richtigen Weg bin. Heißt das, dass die Reihe konvergiert?