Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen: a) ∑ 3^{√k} x^k

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 3^{\sqrt{k}} x^{k} \)

b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(2+4(-1)^{k}\right)^{-k} x^{k} \)

c) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{e^{k}+e^{-k}}{2} x^{k} \)

Ansätze:

Ich habe bei a) folgendes geschrieben:

\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|=\frac{3^{\sqrt{k}}}{3^{\sqrt{k}+1}}=\frac{3}{3^{1}}=1 \)

Also ich habe einfach zuerst √k gekürzt, wonach ich 3 geteilt durch 3¹ hatte. Da 3¹ gelöst 3 ergeben, konnte ich aus 3/3 am Ende die 1 entnehmen.

Noch bin ich nicht weiter gekommen, aber vielleicht könnte mir ja jemand sagen, ob ich denn auf dem richtigen Weg bin. Heißt das, dass die Reihe konvergiert?

Comments

Kann mir keiner helfen?..

Ich habe mich an Teilaufgabe c) versucht. Anhand eines Beispiels habe ich versucht die Aufgabe zu lösen. Das scheint aber nicht ganz richtig zu sein.

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Zu deiner urspr. Frage: Du musst die Potenzgesetze beachten und kannst dort nicht einfach √k rauskürzen.

https://www.matheretter.de/wiki/potenzen

Ganz unten im Link eine Zusammenstellung der Formeln, die du benutzen darfst.

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ok, danke für den Hinweis.

Das mit dem negativem Exponent habe ich auch gerade entdeckt...

Ich versuche es jetzt noch einmal und tippe dann wieder alles ein.

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noch eine Frage:

wenn ich den Bruch bei c) habe..

ist das dann eher so richtig?:

[e^k + 1/(e^k)] / 2  (wegen der Addition ...)

Oder muss ich bei der Umformung den Zähler komplett beachten?

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Bei c) Dafst du keinesfalls einfach e oder k rauskürzen.

nur die 2 nimmst du richtig weg.

Danach musst du dir was anderes einfallen lassen.

Beachte e^  (-(k+1)) = e^{-k-1} aber e^ (-(k-1)) = e^{-k+1}

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[e^k + 1/(e^k)] / 2  Das ist auch ok. 

Da ich nicht so sicher bin, ob dir das hier war bringt bei den Quotienten, eine Idee mit dem Wurzelsupremum

^k √( [e^k + 1/(e^k)] / 2)  >  ^k √( [e^k ] / 2) = e/ (^k √ 2 ) --> e

Problematisch ist > statt = allerdings ist 1/e^k sehr schnell sehr klein.

Lies am besten ein paar Antworten zu Konvergenzradien in der Rubrik ähnliche Fragen durch. Da solltest du eigentlich sehen, wann man die Wurzel und wann den Quotienten benutzen kann.

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okay, danke dir.

ich versuch's dann mal.

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Also bei c) hänge ich noch an der Stelle:

\( \frac{e^{k+I}+\frac{1}{e^{k+1}}}{e^{k}+\frac{1}{e^{k}}} \)

ich habe mir zwar gerade gedacht jeweils e^{k+1} und e^k auch als Bruch mit Nenner 1 zu schreiben, aber das bringt mir auch nicht viel..

Wahrscheinlich ist es eindeutig, nur ich sehe es nicht... kann schon nicht mehr klar denken..

e darf ich also nicht einfach ausklammern?

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Oben e^{k+1} ausklammern, unten e^k.

e^{k+1} (1 + 1/(e^{k+1}*e^{k+1})
________________________    =
e^k (1 + 1/(e^k * e^k)

e^{k+1} (1 + 1/e^{2k+2})
________________________    =
e^k (1 + 1/e^2k)

e^1 (1 + 1/e^{2k+2})
________________________    =
(1 + 1/e^2k)

Grenzwert k gegen unendlich

----> e

Nachvollziehbar?

(Ich hätte allerdings eher die Methode mit der Wurzel ohne Bruch benutzt, aber das hier scheint mir jetzt fast sauberer)

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...jain.

Also außerhalb der Klammer wurde 0 eingesetzt. Aber warum die 1 innerhalb der Klammer?

Sieh es mir bitte nach... Ich tu mich momentan sehr schwer damit..

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Habe oben  noch eine Zeile ergänzt.
Das ausklammern ähnlich, wie wenn man bei
an:= (n^2 + 3n -7)/(2n^2 -9) den Grenzwert berechnet.

an =
n^2(1 + 3/n - 7/n^2)
----------------------------  =
n^2(2 -9/n^2)

(1 + 3/n - 7/n^2)
----------------------------  =
(2 -9/n^2)

----------> 1/2

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Ach jetzt seh ich es auch, nachdem du den Schritt notiert hast..^^

Habe ich dann in der oberen Rechnung das Ergebnis nicht trotzdem richtig?

Wenn dann e in den Bruch eingesetzt wird, kommt ja wieder 1/e dabei heraus. Aber die Rechnung danach müsste ich korrigieren, oder?

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Du musst auf jeden Fall die Rechnung bis zu e noch korrigieren. kommst aber immer noch auf  r = 1/e.

Bei deinen Fällen 1. und 2. musst du auch noch eine saubere Multiplikation der Bruchterme durchführen.

(e^k + e^{-k})/2 * 1/e^k =

(e^k + e^{-k}) / (2e^k) =

(e^k(1 + e^{-2k}))/ (2e^k) =

(1 + e^{-2k}) / 2  → 1/2

Ist somit keine Nullfolge. Daher konv. die zugehörige Reihe nicht.

Dasselbe (keine Konv.) gilt für die alternierende Reihe.

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Alles klar. Ich danke dir vielmals :)

Ich habe mir jetzt noch alles Korrigierte notiert und die zu korrigierenden Stellen markiert.

Werde mich morgen direkt wieder dran setzen und dran weiter arbeiten ^^

Wünsche noch angenehmen Abend.

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Ich habe c) gerade zu Ende korrigiert. Sitze jetzt an b) und wollte mal fragen, ob ich das soweit richtig gemacht habe mit den Schritten?

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(2+4\left(-1^{k}\right)^{-k} * x^{k}\right. \)
\( =\frac{1}{\left(2+4(-1)^{k}\right)^{k}}=\frac{1}{2^{k}+\left(4(-1)^{k}\right)^{k}} \)
\( =\frac{1}{2^{k}+\left(4(-1)^{k}\right)^{k}}=\frac{1}{2^{k+1}+\left(4(-1)^{k+1}\right)^{k+1}} * \frac{2^{k}+\left(4(-1)^{k}\right)^{k}}{1} \)
\( =\frac{2^{k}+\left(4(-1)^{k}\right)^{k}}{2^{k+1}+\left(4(-1)^{k+1}\right)^{k+1}}=\frac{2^{k}+\left((-1)^{k}\right)^{k}}{2^{k+1}+\left((-1)^{k+1}\right)^{k+1}} \)

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Also das habe ich insgesamt bei b)..

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Ach.... Ich habe da einen Rechenfehler..

Korrektur kommt sofort.

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Also b) müsste doch richtig sein.. war wohl ein kleiner Irrtum.

Bei a) habe ich folgendes:

Kann mir jemand sagen, ob das richtig ist?

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Hey!

Ich bearbeite die Aufgabe b) auch gerade und komme nicht wirklich voran!

Hast du sie jetzt gelöst math.newbie?

Bei mir kommen da 2 unterschiedliche Lösungen raus, je nachdem ob man gerade oder ungerade k nimmt. Da man k gegen "unendlich" laufen lässt und nicht weiß ob "unendlich" eine gerade oder ungerade Zahl ist die Frage: Ist das überhaupt eine zulässige Lösung?

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joa, also bei b) hatte ich doch einen Rechenfehler, den ich dann zwar auf Papier ausgebessert habe, aber dann nicht weiter in die Ausgangsformel für |x| eingesetzt habe.

Am Ende habe ich R = -1   Für |x| = -1

Ich mache das eben auch noch.

Ich weiß aber nicht, ob da nicht doch ein Bruch hätte raus kommen sollen..

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hm..

also ich habe das wie folgt eingesetzt:

(2+4(-1)^k)^-k * -1^k  danach habe ich

-2^-2k + (-4^-2k(1^-3k))    aber das dürfte mit den Exponenten nicht richtig sein.

Daher weiß ich gerade nicht, ob der Schritt da überhaupt so richtig ist..

vielleicht kann da jemand anderes etwas dazu sagen?

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Hey math.newbie! 

Ich verstehe nicht ganz wie du auf (2+4(-1)^k)^-k * -1^k kommst.

Ich kann dir daher nur sagen wie ichs gemacht habe, vielleicht hilft es ja:

1/(2+4(-1)^k)^k  dann einfach die formel r=1/lim sup√Ia_nI eingesetzt.

wenn man das weiter auflöst ergibt sich:

I 1/2+4(-1)^k I

Hier komme ich nicht weiter, denn wenn k gerade ist erhält man I 1/2+4 I = 1/6

und wenn k ungerade ist erhält man I 1/2-4 I = 1/2

Ist es überhaupt möglich 2 unterschiedliche Werte für den Konvergenzradius zu erhalten?

Grüße,

Matheboy :>

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Ich habe auch so meine Probleme mit k gerade und k ungerade. Vermute aber da es 2 Grenzwerte gibt und -1/2 negativ ist, werden das die Grenzen des Intervalls vom Konvergenzradius sein. Eventuell weiss da jemand mehr...

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" nach Definition des lim sup, also des größten Häufungspunktes – die 6: " -> 1/6

Answer 1

Wegen der Verwirrung bei (a):

Nach Hadamard gilt \(1/R=\lim_{k \rightarrow \infty}(3^{\sqrt{k}})^{1/k}=3^{\lim_{k\rightarrow\infty}{\sqrt{k}/k}}=3^0=1\),
also \(R=1\).

Gruß ermanus