maximales Kegelvolumen

Question

Ich wäre sehr dankbar wenn Ihr mir helfen könntet ,diese Aufgaben zu  lösen.Ich bin ziemlich unsicher in Mathe und deswegen wäre ich froh wenn ich die Lösungswege bekommen würde.Ich bedanke mich  bei Euch :)

Die optimale Eistüte - mmh!Eine optimale Eistüte ist natürlich eine Tüte, die möglichst viel Eis fasst und auch noch gut schmeckt.Unsere Eistüte ist leider nur aus Papier: Wir schneiden aus einer Kreisscheibe ein Segment mit dem Öffnungswinkel alfa aus und basteln daraus mit einem Klebestreifen eine kegelförmige Tüte.

a) Für welchen Winkel alfa ergibt sich ein maximales Tütenvolumen?

b)Beim Basteln der Tüte fällt auf, dass man aus dem Abfallstück eine weitere Tüte kleben kann.Beschreibe das Volumen dieser zweiten Tüte als Funktion der Größe des Winkels der ersten Tüte. Vergleiche den Graphen dieser Funktion mit dem Graphen für das Volumen der ersten Tüte.

Nun haben wir zwei Eistüten. Schlauerweise füllen wir beide.Wie muss alfa gewählt werden, damit die Summe der beiden Tütenvolumen maximal wird?

 c)Wie viel Prozent mehr Eis erhält man bei dieser Lösung gegenüber der, wenn man die Kreisscheibe einfach mittig teilt (a = 180°)?

Answer 1

Hier meine Überlegungen.


V = Grundfläche * Höhe / 3
V = r^2 * PI * h / 3
V ( r ) = r^2 * PI * √ (r^2 - 1 ) / 3
V ´( r ) = PI * r^2 * ( 3 * r^2 - 2 ) / ( 3 * √ ( r^2 - 1 ) )
Extremwert
r = 0.8165

r = α / 360 =0.8165
α = 294 °

Hast du das das Ergebnis ?

Comments

@georgborn 

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Aufagbe a habe ich erfolgreich hinbekommen

Wissen Sie bitte wie man die zweite  Aufgabe  lösen kann? Könnten Sie mir einen Lösungsansatz vorschlagen?Vielen Dank

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet

Gut. Dann geht es gleich weiter.

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Hier ist leider ein Fehler

V = Grundfläche * Höhe / 3
V = r² * PI * h / 3
1^2 = h^2 + r^2
h = √ ( 1 - r^2 )

V ( r ) = r² * PI * √ ( r² - 1 ) / 3  | alt, falsch
V ( r ) = r² * PI * √ (1 - r² ) / 3  | neu, richtig

V ´( r ) = PI * r² * ( 3 * r² - 2 ) / ( 3 * √ ( 1- r² ) )
Extremwert
r = 0.8165

r = α / 360 =0.8165
α = 294 °

V ( r ) = r² * PI * √ ( 1 - r²  ) / 3
r = α / 360
V ( a ) = ( a / 360 ) ² * PI * √ ( 1 - ( a / 360 ) ²  ) / 3
V ( 294 ) = 0.40
360 - 294 = 66 °
V ( 66 ) = 0.035

Volumenformel für die 2.Tüte
a durch ( 360 -a ) ersetzen
V2 ( a ) = ( ( 360 - a ) / 360 ) ² * PI * √ ( 1 - ( (360 -a ) / 360 )^2  ) / 3




Geht noch weiter. 

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Vielen Dank

Kannst du mir bitte sagen,mit welchem Programm du die Grafen erstellt hast? 

Bei Aufgabe c)  gehe ich davon aus ,dass man beide Volumen für die Eistüten zusammenaddiert ,ableitet und dann gleich null setzt. Ist dieser Ansatz richtig?

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Summe beider Volumina
V ( a ) + V2 ( a )

V ( 116.65 ) ist das Maximum mit 1.3699
V ( 180 ) = 1.3603

1.3603 * x = 1.3699
x = 1.0071
0.71 % mehr

Bemerkung : bei dieser Aufgabe kann einm aber die Lust
an der Mathematik ( falls vorhanden ) absolut vergehen.
Ich tippe einmal auf Abitur Leistungskurs unter mithilfe eines GTR.

Bei Fragen wieder melden.

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Bei Aufgabe c)  gehe ich davon aus ,dass man beide Volumen für die
Eistüten zusammenaddiert ,ableitet und dann gleich null setzt.
Ist dieser Ansatz richtig?
Ja

Ohne GTR dürfte eine Berechnung aber nicht möglich sein.

Ich habe den Plotter meines eigenen Matheprogramms genutzt.

Oben rechts auf dieser Seite ist auch ein Funktionsplotter.

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Danke sehr für deine Hilfe. Du  hast mir sehr  geholfen.

Wieso ist eine Berechnung nicht  möglich ?  Ich habe  beide Funktionen zusammen addiert und habe die zusammengefasst  aber ich kann sie leider nicht ableiten weil der Ausdruck ziemlich komplex ist.  :( 

 kannst du mir bitte Fotos von deiner  Berechnung schicken?  Das  wird mir sehr helfen.

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Die Berechnung zu Fuß ist möglich aber sehr komplex und voll
arbeitsaufwändig. Ich habe diese meinem Matheprogramm überlassen.

Deshalb nochmals meine Frage : sollte die Aufgabe ohne GTR bearbeitet
werden ? Kann ich mir nicht vorstellen. Woher hast du die Aufgabe ?

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Hallo 

das ist meine Aufgabenstellung die ich bekommen habe für meine mündliche Abiprüfung. Es kommt recht ungünstig rüber wenn ich den Prüfern präsentieren,dass ich eineAufgabe mit einem MatheProgramm gelöst habe  :(

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Ist dir ein GTR vom Unterricht her bekannt ?
Darfst du den benutzen ?

Ich gebe zu bedenken :

Es sind 2 Graphen zu zeichnen. Hier Wertetabellen manuell zu berechnen
halte ich für einen zu großen Zeitaufwand.

Zur abschließenden Extremwertaufgabe
V ( a ) + V2 ( a )
( a / 360 ) ² * PI * √ ( 1 - ( a / 360 ) ²  ) / 3  +
( ( 360 - a ) / 360 ) ² * PI * √ ( 1 - ( (360 -a ) / 360 )²  ) / 3 

Wird von dir gefordert dies nach a zu Fuß abzuleiten ?

Ich beschäftige mich noch weiter mit der Aufgabe.

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Ja . Man muss die Gleichung mithilfe der Produkt- und Kettenregel ableiten.Ich schicke dir gleich ein Foto  von meiner  Rechnung

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Die Grafik stimmt glaube ich nicht. Hier hätte der Funktionswert
durch 3 geteilt werden müssen ( / 3 letztes Glied ).
Das würden wir aber auch noch hinbekommen.

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Hier die erste Ableitung für V und V2

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Mit GTR haben wir  uns bisher  noch nie beschäftigt. Das einzige Programm, das wir benutzen , ist Geogebra aber  ich glaube nicht dass es verkehrt ist wenn man ein  neues Programm präsentiert , aber dennoch muss man wissen ,wie  man ohne das Programm zu Fuß rechnen kann .

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Das man die Lösungswege selbst herausfinden muß ist klar.
Diese hast du ja schon angegeben.

Dann können Matheprogramme aber jede Menge Arbeit abnehmen oder
auch Graphen Ruck-Zuck erstellen.

Da du die Aufgabe ohne Matheprogramm vorlegen sollst und
besprechen kannst  werde ich mich mit der Aufgabe nochmals in Ruhe beschäftigen
damit wir auch eine richtige nachvollziehbare Lösung hinbekommen.

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Beim Kommentar :hier ist leider ein Fehler
heißt es nicht
V ´( r ) = PI * r² * ( 3 * r² - 2 ) / ( 3 * √ ( 1- r² ) )
sondern
V ´( r ) = PI * r * ( 3 * r² - 2 ) / ( 3 * √ ( 1- r² ) ) 

Sonst geht es aber richtig weiter.

Die Grafik sieht so aus

 

Die Skalierung der Ordinate ist anders.

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Vielen Dank für die Verbesserung und auch deine Hilfe  :-)!

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Nun haben wir zwei Eistüten. Schlauerweise füllen wir beide.Wie muss alfa
gewählt werden, damit die Summe der beiden Tütenvolumen maximal wird?

 c)Wie viel Prozent mehr Eis erhält man bei dieser Lösung gegenüber der,
wenn man die Kreisscheibe einfach mittig teilt (a = 180°)?

Das fehlt noch. Aber jetzt mit der Ruhe.

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Dies ist der Graph der Summe der Volumen

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alpha = 116.65 ° hat sich auch wieder bestätigt

V ( 116.65 ) ist das Maximum mit 0.4566
V ( 180 ) = 0.4534

 0.4534 * x = 0.4566
x = 1.0071
0.71 % mehr

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Wie muss alfa gewählt werden, damit die Summe der beiden  Tütenvolumen maximal wird?

Ich habe alles verstanden bis auf wie man diese Aufgabe zu Fuß machen kann .

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V gesamt = V ( a ) + V2 ( a )
( a / 360 ) ² * PI * √ ( 1 - ( a / 360 ) ²  ) / 3  +
( ( 360 - a ) / 360 ) ² * PI * √ ( 1 - ( (360 -a ) / 360 )²  ) / 3 

Davon die 1.Ableitung bilden, zu 0 setzen und nach a auflösen.

Leider ist es mir nicht gelungen die Berechnungsschritte irgendwie
zu vereinfachen. Es kommen ellenlange Lindwürmer heraus.

Diese Aufgabe ist eine ABI-Leitungskurs-Aufgabe aus einem Bundesland
in dem ein GTR bei der Prüfung benutzt werden darf. Todsicher.

Ich würde einmal mit dem Mathelehrer reden und ihm die Angelegenheit schildern.
Du hättest zwar die Aufgabe verstanden und auch die Lösungen gefunden aber bei
Aufgabe c.) ... letzte Frage wäre es ohne GTR nicht gegangen.