maximales Volumen eines Zylinders unter einem Kegel mit gegebenen Maßen

Question

Ein Zylinder  soll in einen Kegel mit einer  Höhe von h=70cm und einem Radius von r=12,5cm passen. Was ist das maximale Volumen des Zylinders?

Würde gerne Wissen wie man das Ausrechnet.

Ich hab als Ansatz das Volumen des Kegels ausgerechnet und ich vermute das Strahlensätze gebraucht werden.

Answer 1

Die Seitenlinie des Kegels kann beschrieben werden durch die Funktion

f(x) = 70 - 70/12.5 * x

V = pi * x^2 * (70 - 70/12.5 * x)

V = 70·pi·x^2 - 28/5·pi·x^3

V' = 140·pi·x - 84·pi·x^2/5 = 0 --> x = 25/3

Comments

Die Lösung ist richtig. Bei der Volumenformel fehlt genau genommen eine 3 im Nenner.

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Also wäre die Höhe dann 48/3cm?

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@Roland

Das 1/3 kommt beim Kegel hin aber nicht beim Zylinder. Und einem Kegel soll ein Zylinder einbeschrieben werden und nicht umgekehrt.

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@user

Höhe

f(x) = 70 - 70/12.5 * (25/3) = 70/3

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Der Fehler hat Auswirkungen auf das Volumen aber weder auf Höhe noch auf Radius des Zylnders.

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Mathecoach, du hast recht. Hab mich geirrt.

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Ah, ich habe 70/12,5*(25/3) gemacht

weil ich Dachte das h_k/r_k=h_z/r_z und demnach 70/12,5=h_z/(25/3) ist aber richtig wäre dann h_k/r_k=70-h_z/r_z?

k für Kegel

z für Zylinder

Answer 2

Ja, du brauchst einen Strahlensatz. Zeichne Zylinder und Kegel im Querschnitt (als Rechteck im Dreieck). Nenne die Zylinderhöhe y und den Zylinderradius x. Dann gilt (1) (70-y)/x=70/12,5. Das Zylindervolumen ist dann (2) V= π/3·x²·y. Löse (1) nach x oder y auf und setze in (2) ein. Dann Nullstellen der Ableitung usw.