Der größte Zylinder in einem geraden Kegel

Question

Ein gerader Kreiskegel hat den festen Radius R und die feste Höhe H. Im Kreiskegel soll ein Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h, so wie abgebildet, eingeschrieben stehen.

Wie müssen die Zylindermaße r und h gewählt werden damit das Zylindervolumen V maximal wird?

Hilfen: Zylindervolumen: V=π*(r^2)*h

Answer 1

Mantellinie

f(x) = h - h/r * x

Zylindervolumen

V = pi * x^2 * f(x) = pi * x^2 * (h - h/r * x) = pi·h·x^2 - pi·h/r·x^3

V' = 2·pi·h·x - 3·pi·h/r·x^2 = 0

x = 2/3·r

f(2/3·r) = h - h/r * (2/3·r) = 1/3·h