Maximales Volumen bei einem Kegel. Für welche Höhe wird das Volumen maximal?

Question

Von einem Kegel ist die Mantellinie s bekannt. Das Volumen des Kegels ist von seiner Höhe h abhängig.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgieichung \( V=f(h) \) und geben Sie den Definitionsbereich an.

b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion, wenn \( \mathrm{s}=2 \mathrm{~m} \) ist.

c) Für welche Höhe \( h \) wird das Volumen maximal?

Answer 1

Kegelvolumen  V = 1/3 * pi *r^2 * h 

und r^2 + h^2 = s^2 (Pyth.) also   r^2 = s^2 - h^2

also V(h) =  1/3 * pi * (s^2 - h^2 ) * h  =  1/3 * pi * ( h*s^2 - h^3 )

Höhe maximal :  mit    V ' (h) =  1/3 * pi * ( s^2 - 3 h^2 )

V ' (h) = 0   für h = s / wurzel(3) 

mit V ' ' ( s / wurzel(3) ) < 0 kannst du sehen:  Maximum bei    h = s / wurzel(3)