Rechnerisch eine quadratische Funktionsgleichung bestimmen. S(1;-3), P(3;-2).

Question

kann mir jemand schreiben wie man bei der Aufgabe vorgehen soll bzw. was man da alles machen muss.

Aufgabe:

Der Graph einer quadratischen Funktion p hat seinen Scheitel im Punkt  S ( 1; - 3 ) und verläuft außerdem durch den Punkt P ( 3; - 2 ).

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Funktion p.

Answer 1

S ( 1; - 3 ) und verläuft außerdem durch den Punkt P ( 3; - 2 ).

Also, du weißt der Scheitelpunkt ist bei S( 1 ; -3) bedeutet das der Graph an dieser Stelle die Steigung 0 hat, dazu nimmst du die erste Ableitung an der Stelle 1:

f(x) = a•x^2 +b•x + c (Quadratische Funktion)

Jetzt leitest du ab:

f ' (x) = 2•a•x + b (1. Ableitung, nimmst du jetzt an der Stelle 1)

f ' (1) = 2•a•1 + b = 0 (Erste Gleichung)

Jetzt weißt du noch, das an der Stelle P( 3 ; -2) der graph einen Punkt im System besitzt, also einfach:

f(3) = a•(3)^2 + b•3 + c = -2 (Zweite Gleichung)

Und den Scheitelpunkt weißt du auch, das es ein Punkt im System des Graphen ist:

f(1) = a•(1)^2 + b•1 + c = -3 (Dritte Gleichung)

Jetzt stellst du ein LGS auf, mit allen drei Gleichungen)

I.     2•a•1 + b = 0

II.    a•(3)^2 + b•3 + c = -2 

III.   a•(1)^2 + b•1 + c = -3

Dann kommt raus:

a = 1/4 ; b = -1/2 ; c = -11/4

Also lautet deine Funktion dann: f(x) = 1/4•x^2 - 1/2•x - 11/4

Comments

Vielen dank für diese sehr ausführliche Erklärung!

Ich glaub jetzt hab ich es verstanden.

Aber eine kleine Frage hab ich dann doch noch:

"Also, du weißt der Scheitelpunkt ist bei S( 1 ; -3) bedeutet das der Graph an dieser Stelle die Steigung 0 hat,"

-> ist das immer so, egal welcher Scheitelpunkt gegeben ist?

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Jap, ist bei jedem Scheitelpunkt so, du kannst ja mal eine Tangente am Scheitelpunkt einzeichnen, diese Gerade wird immer parallel zur x-Achse sein und daher auch die Steigung Null besitzen!

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Hier mal ein Bild dazu, zur Veranschaulichung, die rote Gerade ist jetzt eine Tangente am Scheitelpunkt:

und man sieht, dass diese Gerade keine Steigung besitzt.

Answer 2

Der Graph einer quadratischen Funktion p hat seinen Scheitel im Punkt  S ( 1; - 3 ) und verläuft außerdem durch den Punkt P ( 3; - 2 ).

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 = ((-2) - (-3)) / (3 - 1)^2 = 0.25

y = a * (x - Sx)^2 + Sy = 0.25 * (x - 1)^2 + (-3) = 0.25 * (x - 1)^2 - 3

Comments

Welche Formeln sind das denn die du benutzt hast?

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Das ist zum einen die Bestimmung des Öffnungsfaktors über ein Öffnungsfaktordreieck und zum anderen die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion.

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"die Bestimmung des Öffnungsfaktors über ein Öffnungsfaktordreieck"

Das hab ich noch nie gehört. 

Gibt es da auch einen anderen Weg (vielleicht auch leichter) um zur Lösung zu gelangen?

Weil das ist eine alte Prüfungsaufgabe und auf sowas komm ich bestimmt dann in der Prüfung nicht. Bitte nicht böse nehmen :)

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Du kennst bestimmt die Bestimmung der Steigung der linearen Funktion über ein Steigungsdreieck

m = (y1 - y2) / (x1 - x2)

Nun schau dir mal die beiden Formeln an. Fällt dir etwas auf ?

Answer 3

F(x) = a  (x -1 )² -3

-2 =  a ( 3-1)² -3

-2 = 4a -3

a = 1/4  ------->    f(x) = 1/4 (  x - 1)² -3 ---->1/4 ( x²  -2x +1) -3

f(x) =  1/4*x² - 1/2*x -11/4

Comments

F(x) = a  (x -1 )² -3 

Welche Formel ist das und für was steht das a?

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Das ist die Scheitelpunktform einer Parabel.

Einführungsvideo z.B. hier:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=GzXUj8YvZT4

Das a ist für die sogenannte Öffnung der Parabel verantwortlich. Wenn a=1 gilt, nennt man die Form der Parabel: (verschobene) Normalparabel.

Die Gleichung der Normalparabel ist y = x^2.