Berechne die momentane Distanzänderung zwischen den Schiffen um a) 9.00 Uhr? Ableitung von Schiffskursen

Question

Anwendung der Ableitungsregeln:

Ein Schiff, dessen Geschwindigkeit 24 Knoten beträgt, passiert den Punkt P auf Nordkurs genau um 8:00 Uhr. Ein zweites Schiff, dessen Geschwindigkeit 32 Knoten beträgt, mit Ostkurs passiert P genau um 10:00 Uhr. Berechne die momentane Distanzänderung zwischen den Schiffen um a) 9.00 Uhr, b) 11:00 Uhr. (1 Knoten = 1.857 km/h)

Ich weiss nicht wie ich hier vorgehen muss. Ich habe es versucht und habe gedacht man könnte es mit dem Pythagoras lösen, weil es sich immer ein rechtwinkliges Dreieck ergibt mit den versch. Himmelsrichtungen.

Danke schon jetzt!

Answer 1

Hallo dabi_13,

  um 9 Uhr befindet sich

  - Schiff 1 - 24 Knoten nördlich von Punkt  P

  - Schiff 2 - 32 Knoten westlich von Punkt P

  Mit dem Pythagoras egibt sich ein Abstand von Wurzel(24^2 + 32^2) = 40 Knoten

  um 11 Uhr   befindet sich

  - Schiff 1 - 3 * 24 Knoten nördlich von Punkt P

  - Schiff 2 - 1 * 32 östlich von Punkt P

  Mit dem Pythagoras ergibt sich ein Abstand von Wurzel ( (24*3)^2 + 32^2 ) = 78.79 Knoten

  Das errechnete Ergebnis mußt du noch mal 1.857 km/h um auf eine Angabe in Kilometer zu kommen

  Zur Berechung der Distanzveränderung rechnest du ( 78.79 - 40 ) * 1.857 = 36.933 km.

  mfg Georg

Comments

Hallo dabi_13, es ist doch leider etwas komplizierter. Da kommt wohl noch etwas differenzieren hinzu. mfg Georg

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Hallo dabi_13,

  ich bin auf dasselbe Resultat wie Johann gekommen. Zum Zeitpunkt 9:00 Uhr bewegen sich die Schiffe mit 11.2 Knoten aufeinander zu. Um 11:Uhr mit 34.93 Knoten voneinander weg.

 Die Aufgabe ist reichlich kompliziert und es gibt viel zu rechnen. Ich habe mein Mathe-Programm dazu verwendet.

 Zunächst wurden die Koordinaten der Schiffe als Funktion der Zeit aufgefasst.

  Für Schiff 1 : Bewegung nur von Süd nach Nord : x = 0 ; y = ( t - 8 ) * 24

  Für Schiff 2 : Bewegung nur von West nach Ost : x = ( t - 10 ) * 32 ; y = 0

  Als Abstandsfunktion wurde der Pythagoras verwendet :

  Allgemein  : d = Wurzel ( ( y1-y2)^2 + (x1-x2)^2 );

  Da x1 = 0 und y2 =0 sind verkürzt sich das Ganze zu d = Wurzel ( (y1)^2) + (x2)^2 )
   d  = Wurzel ( ((t-8)*24)^2 + ((t-10*32)^2) oder ausmultipliziert

  d (t) = 8 * Wurzel ( 25*t^2 - 464*t + 2176 )

  Ein Blick auf den Graphen der Funktion zeigt das die Schiffe sich erst annähern und dann wieder entfernen.

  Die Geschwingkeit ist  delta(Abstand ) / delta(Zeit) sprich die erste Ableitung

  d´ (t) = 4 * ( 50 * t - 464 ) / Wurzel ( 25*t^2 - 464*t + 2176 )

  d´(9) = -11.2 Knoten ; d´(11) =  34.93 Knoten

  Umrechung Knoten * 1.857 = km/h .

  Fazit : einfach erscheinende Aufgabenstellung, aber doch kompliziert in der Aufstellung der Formeln, sowie umfangreich in der Rechnerei.

  mfg Georg

Answer 2

Hi

1. Skizze:

2. Angaben:

v_Ex = 32 kn;
v_Ny= 24 kn;
 

Zuordnung: Uhrzeit - Zeitpunkt

Uhrzeit	08.00	09.00	10.00	11.00
Zeitpunkt tn	t0= 0h	t1= 1h	t2= 2h	t3= 3h

 

3. Ansatz:

Ich werde die Einheiten Knoten (kn), Seemeile (sm) und Stunde (h) verwenden. (1 kn = 1 sm/h; 1 sm = 1,852 km)

Ich beschreibe zunächst die Position der Schiffe mit Hilfe von Vektoren:

x_Ex,0 = -64 sm; // ergibt sich da das Schiff zum Zeitpunkt t₂ = 2 h bei P(0|0) ankommt.

 

 

4. Rechnung:

Damit ergibt sich für die Distanz zwischen den Schiffen und die zeitliche Änderung der Distanz ( = die erste Ableitung der Distanz nach der Zeit):

Nun musst Du nur noch die entsprechenden Werte einsetzen und die Ergebnisse für t₁ und t₃ berechnen.

 

5. Ergebnisse:

Ich schreib Dir noch die Ergebnisse auf, die ich berechnet habe.

d_punkt(t = 1h) ≈  -11,2 sm/h;
d_punkt(t = 3h) ≈  +34,9 sm/h;

6. Abschließende Bemerkung:

Bitte alles kritisch prüfen. Ich kann Dir keine Garantie darauf geben, dass alles richtig ist. Falls Du Fragen hast --> Kommentar.

 

lg JR

Comments

Noch eine Ergänzung:
Ich denke die Formel ist plausibel; wenn man nämlich t = 2h in d_punkt einsetzt, dann erhält man 24 kn als Ergebnis und das ist ja auch die Geschwindigkteit mit der sich das Nord-Schiff vom Ost-Schiff entfernt und damit die Rate der zeitlichen Änderung der Distanz.

lg JR