Wendepunkt Bedingung

Question

Für was brauche ich die notwendige und hinreichende Bedingung vom Wendepunkt also was zeigt es mir ?

Answer 1

   Allgemein gilt. Ein Extrempunkt ist immer eine Nullstelle gerader Ordnung ( hinreichende Bedingung ) ;  ( mehrfache ) ungerader Ordnung ist stets ein ===> Terrassenpunkt, also eine Sonderform des WP ( Im vorhinein kannst du nie wissen, bis zu welcher Ordnung der Ableitung du es treiben musst; in diesem Forum hatte ich schon mal eine Aufgabe, da brauchte ich fünfte. )

   Ein WP ist definiert als Extremum der ersten Ableitung. D.h. die erste nicht verschwindende Ableitungsordnung im WP ( nach der ersten natürlich ) musss ungerade sein. Ganz allgemein heißt ein Punkt, in welchem die 2. Ableitung verschwindet, ===> Flachpunkt . jeder WP ist ein Flachpunkt, aber nicht umgekehrt.

   Um zu verstehen, was ein Flachpunkt besagen will. Die Tangente an eine Kurve kannst du nur konstruieren, wenn sie differenzierbar ist; die Tangente in x0 ist definiert als diejenige Gerade, die mit f ( x0 ) und deren Srteigung mit f ' ( x0 ) übereinstimmt.

   Analog der ===> Krümmungskreis ( KK ) Für eine Gerade braucht es zwei Bestimmungsstücke, für einen Kreis drei ( Mittelpunkt x0 , y0 + Radius R )  der KK existiert nur, wenn die Kurve mindestens zwei Mal differenzierbar ist ( Bedingungen an f ( x0 ) , f ' ( x0 ) so wie f " ( x0 )     Der Ausdruck K  =  1 / R heißt ===> Krümmung der Kurve; hier geht die zweite Ableitung ein. Wenn y " ===> 0 geht R gegen Unendlich; dann entartet der KK zur Tangente. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn der Berührpunkt x0 ein Flachpunkt ist.

    Ganz ganz wichtiger Sonderfall für Spickzettel, Regelheft und Formelsammlung. Gegeben ein kubistisches Polynom in Normalform

        f  (  x  )  :=   x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0      (  1  )

       Drei Merkregeln, die nirgends stehen und die dir auch dein Lehrer nicht verrät.

      " Alle kubischen Grafen singen immer wieder die selbe Melodie. "

     1) Für die Berechnung des WP brauchst du überhaupt keine Ableitung; notwendig und hinreichend

          x  (  w  )  =  -  1/3  a2      (  2  )

         2)   Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP ;    daher ist es durchaus irre führend, sich darauf zu kaprizieren, ob in seiner Polynomdarstellung gerade bzw. ungerade Exponenten vorkommen.

     3) die praktische Nuzanwendung für Steckbriefaufgaben. Kubische Polynome haben drei kritische Punkte; Minimum, Maximum und WP . Natürlich fallen die beiden Extrema Spiegel symmetrisch zu dem WP.   Kennst du zwei kritische Punkte, kennst du bereits den dritten.

    Ein sehr häufiger Aufgabentyp; dir wird die Lage von Maximum und WP angegeben. du schließt auf das Minimum und hast damit bereits beide Nullstellen der ersten Ableitung. Was bleibt zu tun? Aufleiten, um die unbekannte Funktion zu konstruieren.

Comments

Ich glaube, ich habe mich falsch ausgedrückt. Zb. bei den Extremwerten brauche ich die notwendige Bedingung um mögliche Extremstellen heraus zu finden und die hinreichende ob es ein Hoch-oder Tiefpunkt ist. 

Und für was brauche ich die Bedingungen beim Wendepunkt ? 

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 Nochmal. In einem Maximum x0 hast du  ( hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung ) eine n-fache Nullstelle; n gerade. Und für die n-te, das ist die erste NICHT VERSCHWINDENDE Ableitung, muss gelten

     (  d / dx )  ^ n  f  (  x0  )  <  0      (  1  )

    WP musst du   unterscheiden. Wie ich schon sagte; eine ( mehrfache ) Nullstelle von ungerader Ordnung ist hinreichend für TP .

   Nun sind aber nicht alle WP gleichzeitig TP; d.h. die Wendetangente muss ja nicht horizontal verlaufen. Also die erste Ableitung ist dann schon ungleich Null; du hast eine ganz schofele Nullstelle erster Ordnung.

   Aber die 2. Ableitung verschwindet; das ist notwendig und hinreichend für Flachpunkt.

   Jetzt musst du dich fragen; welche Ableitung überlebt als erste? Wenn es eine ungerade ist wie die dritte, fünfte,  ... die als erste nicht Null ist. Bist du sicher, dass es ein WP ist.

   Wenn die Ableitung aber gerade ist - vierte, sechste usw - ist es ein ganz schofeler Flachpunkt; das merkst du dem Kurvenverlauf gar nicht an. In einem WP wechselt ja die Kurve von Links-zu Rechtskrümmung; in einem allgemeinen Flachpunkt tut sie das nicht.

   jhab ich das jetzt richtig erklärt?

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Hm ich glaub ich bin doof ich check das nicht :( 

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  Vielleicht werdet ihr alle ein bisschen doof gehalten. Man sagt euch; Maximum. Erste Ableitung = 0; zweite kleiner Null. Aber das ist zu speziell; es kann auch die vierte oder sechste sein. Es kann durchaus vorkommen, dass die ersten neun Ableitungen verschwinden und erst die 10. nicht. Oder hat etwa x ^ 10 kein Minimum?

   Genau so bei einem WP. Die 2. Ableitung ist Null. Auch hier kann die 3. schon ungleich Null sein - muss aber nicht. Genau so ist es auch hier möglich: erst bei der 5. , 7. oder 9 .  ist das wirklich schwer?

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Ich kapiers echt nicht das verwirrt mich nur noch mehr.

Trzd danke für deine Mühe :) 

Answer 2

Ich versuche einmal eine etwas einfachere Erklärung.

Bei einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung einer Funktion.
Von Links- nach Rechtskrümmung oder umgekehrt.

Im Wendepunkt hat die Funktion keine Krümmung.

Die 2.Ableitung ist f ´´( x ) = 0.

Dies ist die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt.
Das die 2.Ableitung f ´´( x ) = 0 ist gilt für alle Wendepunkte.

Es ist aber noch nicht ausreichend oder hinreichend.

Es gibt aber auch Funktionen die Punkte haben bei denen f ´´( x ) = 0
ist aber kein Wechsel in der Krümmung auftritt.

Linkskrümmung - 0 - Linkskrümmung
Rechtskrümmung - 0 - Rechtskrümmung

Eine hinreichende Bedingung wäre zusätzlich zur notwendigen Bedingung
f ´´´ ( x ) ≠ 0

Sicherlich stimmt das was ich hier hingeschrieben habe noch nicht haargenau
damit bist du aber hoffentlich einen Schritt weiter gekommen.

Answer 3

Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein :f´´ = 0  und f´´´≠ 0 !

Brauchst du ein Beispiel ?

Comments

Wie wär`s mit \(f(x)=x^5\) ?

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  Lieber Gast; siehe meine Antwort. Ich sags ja; hätten euch eure Lehrer nur was Anständiges beigebrungen.

  Es gibt da zwei hinreichende, aber nicht notwendige Bedingungen.

   Eine Nullstelle von gerader Ordnung ist immer ein lokales Extremum.

  Und eine ( mehrfache; also mindestens 3-fache ) Nullstelle ungerader Ordnung ist immer ein ===> Terrassenpunkt .

    Deine Funktion y  =  f  (  x )  =  x  ^ 5  besitzt eine 5-fache Nullstelle; 5 ist ungerade ===> TP .

    In meiner antwort betone ich ferner, dass mir das Tatsache schon mal zugestoßen ist.

    Studenten schweben ja in höheren Sphären; was die lernen ,müssen, kommt normal in der Schule gar nicht dran.

    Jetzt kannst du Funktionen z.B. auch zeichnen als 3 D Gebirge mit verdeckten Kanten; z = f ( x ; y )

   Im Betrieb wurde ich ja als gemobbt; einmal wegen meinem Doktortitel.

    Dann sagten die, ich sei zu doof um zu verstehen, was Bits und Bytes sind ( Weil sehr viel mehr können sie selber nicht; hier die reißen witze nicht über nackte Frauen, sondern über Leute, die nicht wissen, was ===> hexadezimale Zahlen " Hexenzahlen " sind )

   Und dann sagten sie, ich darf nie heiraten. Warum? Weil unten vor der Kirche schon meine ( angeblichen ) Kinder stehen mit dem Rosenstrauß in derr Hand ...

   Und dann bekam ich den Auftrag, so ein Programm zu entwickeln, wo 3D Gebnirge raus plottet.

   Und ich sage dir; der Mensch ist ein Augentier. Alle standen sie um den Plotter versammelt und sagten oooh und aaah; guck mal, wie schlau dass der Herr doktor ist - was der alles kann; blablabla ...

   Und solche Gebirge werden in der Mathevorlesung diskutiert; das ist dann quasi " Gebirgsdiskussion " und nicht mehr Kurvendiskussion. Sowas kommt hier recht häufig. Auf verschiedenen kritischen Linien ( abszisse; Ordinate ) brachen alle Kriterien uzusammen, die so im Skript stehen. Und die Antworten hier in dem forum lauteten überein stimmend:

   " WENN man diese Punkte weg lässt; ja DANN ... "

   Da stand aber: Untersuchen sie ALLE Punkte.

   Mein  Trick: Ich stelle mich auf den kritischen Punkt. Und jetzt lege ich Strahlen förmig  Pfade inalle Himmelsrichtungen an. Welcheableitung ist die erste, die nicht verschwindet? Es war die fünfte.

   Ich wollte dir nur etwas näher gebracht haben, welch traute Erinnerungen ich mit der 5. Ableitung verbinde. Hier um mich zu veraaschen, musste früh aufstehen ...

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Ich glaube, ich habe mich falsch ausgedrückt. Zb. bei den Extremwerten brauche ich die notwendige Bedingung um mögliche Extremstellen heraus zu finden und die hinreichende ob es ein Hoch-oder Tiefpunkt ist. 

Und für was brauche ich die Bedingungen beim Wendepunkt ? 

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  Zunächst mal; ich bin deaktiviert. Ich habe keinen Schimmer warum. Ich weiß nicht, ob mich eure Anfragen in Zukunft noch erreichen. Im Übrigen ist es eine organisatorische Schwäche dieses Forums ( vgl. Cosmiq ) dass anfragen und  Kommentare nicht online angezeigt werden.
  Nein; du hast dich nicht falsch AUSGEDRÜCKT ; du hast etwas falsch VERSTANDEN .
   Eine notwendige Bedingung gibt es gar nicht; es gibt nur eine hinreichende.
   Hinreichend für Extremum ist, dass die Nullstelle doppelt ist. Oder vierfach oder sechsfach.
   Du hast eine Nullstelle vom gerader Ordnung.
   Weißt du, was das ist: Eine Nullstelle der Ordnung 100 ? D.h. die ersten 99 Ableitungen sind Null. Und die hundertste nicht; ihr Vorzeichen entscheidet über Maximum oder Minimum. Nimm doch f ( x ) = x ^100 ; na siehst du, dass ich Recht habe.
    Genau so gibt es für WP eine hinreichende Bedingung. Die 2. Ableitung muss Null sein und die erste nicht verschwindende von ungerader Ordnung sein  . Das wird meistens die 3. sein; muss aber nicht. Du solltest dich nicht grämen, wenn es zufällig die 7. ist.
   So looks it out.