Wendestelle/ Wendepunkt (Hinreichende Bedingung) (Analysis)

Question

wenn in einer Aufgabe der Wendepunkt oder die Wendestelle gefragt ist, warum muss ich nach der notwendigen Bedingung noch die hinreichende Bedingung ausrechnen was gibt mir die hinreichende Bedingung an? Und der Wendepunkt war doch der x wert was man in der Not. Bedingung rechnet oder? Und die Wendestelle bekommt man raus indem man den x wert in die ausgangs Funktion reinsetzt.

Comments

Z.B. hat der Graph der Funktion f(x)=x⁴ keine Wendestelle, obwohl f''(0)=0 und damit die notwendige Bedingung erfüllt ist.

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Hallo Hello21kitty,

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Answer 1

Eine Wendestelle ist die x-Koordinate des Wendepunktes, der Wendepunkt ist der Punkt auf dem Funktionsgraphen mit x- und y-Koordinate.

Notwendige Bedingung bedeutet, wenn sie erfüllt ist kann es eine Wendestelle sein, muss aber nicht, und wenn sie nicht erfüllt ist, kann es keine Wendestelle sein.

Hinreichende Bedingung bedeutet, wenn sie erfüllt ist, ist es immer eine Wendestelle, es kann aber auch eine Wendestelle sein wenn sie nicht erfüllt ist, da es mehrere hinreichende Bedingungen für Wendestellen gibt und es reicht, wenn eine hinreichende Bedingung erfüllt ist.

Beispiel:

Bei der Funktion f(x) = x⁴-x ist die zweite Ableitung bei x = 0 gleich Null (notwendige Bedingung); aber x = 0 ist keine Wendestelle, da weder die zweite Ableitung f ''(x) = 12x² bei x = 0 das Vorzeichen wechselt (hinreichende Bedingung) noch die dritte Ableitung ungleich Null ist (eine andere hinreichende Bedingung) noch die erste von Null verschiedene Ableitung (es ist die vierte Ableitung) ungerader Ordnung ist (eine dritte hinreichende Bedingung).