Kreis: Mittelpunkt der Sehnen, die durch einen bestimmten Punkt verlaufen

Question

Hallo

Durch einen Punkt in einem Kreis, was nicht Mittelpunkt des Kreises ist, verlaufen verschiedene Sehnen. Der Mittelpunkt der Sehnen bilden nun einen Kreisbogen..also einen neuen Kreis.

Ich soll zeigen, dass diese Mittelpunkte wirklich einen Kreis bilden. Wie mache ich das?

Dankee

Answer 1

Der gegebene Kreis k habe Mittelpunkt M (xm;ym) und Radius r, also Kreisgleichung

k:  (x-xm)^2 + (y-ym)^2 = r^2  und es sein P(a;b) der Punkt, durch den  alle Sehnen gehen.

Der Kreis k2 auf dem  die Mittelpunkte der Sehnen liegen, hat dann den

Mittelpunkt  M2( (xm-a)/2 ; (ym-b)/2 ) und den Radius r/2, also die Gleichung

k2:   (x-   (xm-a)/2  )^2 + (y- (ym-b)/2    )^2 = r^2 / 4

Sei nun Q(c;d)  ein Punkt auf k ( Der andere Endpunkt einer solchen Sehne)

dann hat der Mittelpunkt von PQ die Koordinaten   ( ( a+c) /2   ;   ( b+d) / 2    )

Und diese in die Gleichung von k2 eingesetzt ergibt

( (a+c)/2  -   (xm-a)/2  )^2 + (   (b+d)/ 2  - (ym-b)/2    )^2 = r^2 / 4 

⇔   (  (c-xm)/2 )^2  +   ( d - ym)/2   )^2  =  r^2 / 4            | *4

⇔   (c-xm )^2  +   ( d - ym)^2  =  r^2

und das ist wahr, weil Q auf k liegt.      q.e.d.

Comments

soll da oben (a+c) / 2 stehen..also fehlt da die "2"? und meinst du zum schluss mit k, k2? oder den ersten kreis k?

Dankeee! für die Hilfe.

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soll da oben (a+c) / 2 stehen..

Ja, habe ich korrigiert.

meinst du zum schluss mit k, k2? oder den ersten kreis k?

siehe Zeile 2 und Zeile 5

k ist der ursprüngliche Kreis und

k2 der, auf dem die Sehenenmittelpunkte liegen.

Um das zu beweisen, musst du den Sehenmittelpunkt

bei k2 einsetzen.

Und das führt auf die letzte Gleichung, die deshalb wahr

ist, weil der ursprüngliche Punkt P auf k liegt.

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ah ok. verstanden. Ganz vielen Dank.