Der gegebene Kreis k habe Mittelpunkt M (xm;ym) und Radius r, also Kreisgleichung
k: (x-xm)^2 + (y-ym)^2 = r^2 und es sein P(a;b) der Punkt, durch den alle Sehnen gehen.
Der Kreis k2 auf dem die Mittelpunkte der Sehnen liegen, hat dann den
Mittelpunkt M2( (xm-a)/2 ; (ym-b)/2 ) und den Radius r/2, also die Gleichung
k2: (x- (xm-a)/2 )^2 + (y- (ym-b)/2 )^2 = r^2 / 4
Sei nun Q(c;d) ein Punkt auf k ( Der andere Endpunkt einer solchen Sehne)
dann hat der Mittelpunkt von PQ die Koordinaten ( ( a+c) /2 ; ( b+d) / 2 )
Und diese in die Gleichung von k2 eingesetzt ergibt
( (a+c)/2 - (xm-a)/2 )^2 + ( (b+d)/ 2 - (ym-b)/2 )^2 = r^2 / 4
⇔ ( (c-xm)/2 )^2 + ( d - ym)/2 )^2 = r^2 / 4 | *4
⇔ (c-xm )^2 + ( d - ym)^2 = r^2
und das ist wahr, weil Q auf k liegt. q.e.d.
