Denke du brauchst nur den Induktionsschritt, weil der Rest ja eigentlich klar ist?
$$\sum_{i=1}^{n+1} = (4i-1) = \sum_{i=1}^n (4i-1) + (4 \cdot (n+1)-1) = \sum_{i=1}^n (4i-1) + \color{red}{4n + 3}$$
$$ = 2n^2+n + \color{red}{4n+3} = 2n^2 + 5n + 3 = 2 \cdot \left( n^2 + \frac{5}{2}n + \frac{3}{2} \right)$$
$$ = 2 \cdot \left( n^2 + 2n +1 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot (n^2 + 2n + 1) + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} n + \frac{1}{2} \right)$$
$$= 2 \cdot (n+1)^2 + (n + 1)$$
