Vollständige Induktion: Ungleichung mit Summe von Wurzeln

Question

Aufgabe:

Zeige:

Für alle $$n\in\mathbb{N}$$ gilt:

$$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leq 2\sqrt{n}-1$$

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang und Induktionsannahme sind trivial. Nun habe ich im Induktionsschluss:

$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\leq2\sqrt{n}-1+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$

Am Ende muss ich ja irgendwie auf

... $$\leq 2\sqrt{n+1}-1$$

kommen. Aber irgendwie stecke ich fest. Ein Tipp recht, dann versuch ich es selber weiter

Answer 1

Genau, Du musst nachweisen $$ 2 \sqrt{n} -1 + \frac{1}{ \sqrt{n+1}  } \le 2 \sqrt{n+1} -1 $$ Das macht man mit Äquivalenzumformungen solange, bis eine wahre Aussage übrig bleibt.

Also z.B. auf beiden Seiten eine \( 1 \) addieren. Dann mit \( \sqrt{n+1}  \) durchmultiplizieren und anschliessend beide Seiten quadrieren.

Answer 2

Ersetze in deinem Ansatz noch die Summe \( \sum\limits_{n=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k}}} \) durch die Induktionsannahme für den Fall der Gleichheit. Da ja in Wirklichkeit ≤ gilt, ist der Induktionsschluss erfüllt, wenn du diese Ungleichung beweisen kannst.

Comments

Was meinst du mit "Induktionsannahme im Falle der Gleichheit"? Ich habe doch die Induktionsannahme schon benutzt

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Hier

$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{k}}≤\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}+ $$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}= 2\sqrt{n}-1$$

setzen.  

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Aber habe ich nicht genau das getan in meinem Ansatz? Oder meinst du es vielleicht anders?

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Du hast doch schon gute Antworten erhalten. Ich selber habe im Moment andere Aufgaben vor mir.

Answer 3

Aloha :)

Ich würde das wie folgt zeigen:$$\left.2\sqrt n-1+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\le2\sqrt{n+1}-1\quad\right|\;+1$$$$\left.2\sqrt n+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\le2\sqrt{n+1}\quad\right|\;\cdot\sqrt{n+1}$$$$\left.2\sqrt n\sqrt{n+1}+1\le2(n+1)=2n+2\quad\right|\;-1$$$$\left.2\sqrt n\sqrt{n+1}\le2n+1\quad\right|\;(\cdots)^2$$$$\left.4n(n+1)\le4n^2+4n+1\quad\right.$$$$\left.4n^2+4n\le4n^2+4n+1\quad\right|\;-(4n^2+4n)$$$$0\le1\quad\checkmark$$