Groß-O-Notation, Beweis..

Question

Beweisen oder widerlegen:

Πⁿ_i=1 (i+n)  ∈ O(n²ⁿ) 

Answer 1

Tipp:

$$ \prod_{i=1}^n (i+n) \leq \prod_{i=1}^n 2n = 2^n \cdot n^n \overset{n\geq 2}{\leq} n^n \cdot n^n = n^{2n} $$

Comments

Gilt die Aussage nur für n>=2 ?

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Die Abschätzung ja. Bei der Aussage, die du zeigen sollst, geht es um asymptotisches Verhalten. Deshalb ist die Bedingung \(n\geq 2\) im Beweis kein Problem.

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Könntest du mir bitte sagen, wie ich das am besten aufschreibe.

Answer 2

$$\prod_{i=1}^n (i+n) \leq \prod_{i=1}^n (n+n)=(2n)^n <(n\cdot n)^n$$