Wie beweist man o-notation Aussagen

Question

Aufgabe:

\( \mathcal{O} \)-Notation Berechnung
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Gegeben \( f(n)=n^{3}+n \), zeigen Sie: \( f(n) \in \mathcal{O}\left(n^{3}\right) \)
b) Gegeben \( f(n)=\log \left(n^{2}\right) \), zeigen Sie: \( f(n) \in \mathcal{O}(\log (n)) \)
c) Gegeben \( f(n)=\sqrt{n} \), zeigen Sie: \( f(n) \in \Omega(\log (n)) \)
d) Gegeben \( f(n)=4 n^{4}+n^{3} \), zeigen Sie: \( f(n) \in \Theta\left(2 n^{4}+15 n^{3}\right) \)

Problem/Ansatz:

Hey komme mit dieser Art Übungsaufgabe leider noch nicht so klar. Kann mir hier jemand weiterhelfen, wie man so etwas angeht? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole#Definition

Also z.B. bei a) ist zu zeigen

\( \limsup \limits_{n \to \infty} |\frac{n^3+n}{n^3}| \lt \infty\)

Da sogar der Grenzwert existiert und gleich 1 ist,

ist das ja klar.  etc.

Comments

Vielen dank. die a und b konnte ich somit lösen, jedoch ist die c und d ja nochmal irgendwie anders, weißt du wie diese zu lösen sind?