Wachstum oder geht es auch so?

Question

könnt ihr mir bei Aufgabe 7 helfen?

Answer 1

Setz doch mal 200 für x ein und versuche das Ergebnis auszurechnen.

Vielleicht schaffst du ja noch mehr Teile allein und poste sie

hier zur Kontrolle.

Comments

Bei a) 1583,33€ ?

b) verstehe ich nicht

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e) 1027,77€ ?

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a) ist richtig und

bilde zu b mal die Ableitung.

f ' (x) = -140 / (x+40)^2

Der Nenner ist immer positiv und der Zähler negativ, also insgesamt

f ' (x) < 0 für alle betrachteten Werte von x, also

f streng monoton fallend. Das heißt praktisch:

Die Kosten nehmen bei steigenden x-Werten ab.

c) mach doch den Ansatz  f(x)=3

und recdhne aus: gibt x=30

Also ab der 31.Tonne ....

d) Für große Werte von x ist f(x) ungefähr gleich 1

(Der Grenzwert von f(x) für x gegen unendlich ist 1).

Also kostet es langfristig etwa 1000 Euro pro Tonne.

e) Dein Wert sind die Kosten für die 5000-te Tonne.

für die ersten 5000 Tonnen ist es das Integral von 0 bis 5000

über f(x) also etwa 5,677 Mio.

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Bei der b hätte ich da eine Frage:

Meinst du statt 140 180?

Und ich verstehe deine Ableitung nicht.

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Abl. geht nach nach Quotientenregel:

bei U/v ist die Abl (v*u' - u*v ') / v^2

hier also

(    (x+40)*1  -  (x  180) * 1   )   /  (x+40)^2

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Bei der c also ab der 31 Tonne

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Wäre es möglich, dass sie die c ausführlich hinschreiben?

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( x+180)/(x+40)=3    | *(x+40)

x+180 = 3x + 120    |  -2x  - 180

-2x = - 60    |  :  ( - 2)

x = 30

Also kostet die 30. tonne genau 3000 und ab der 31. ist es billiger.

Answer 2

Hier mal meine Ideen dazu

a) Wie hoch sind die Herstellungskosten für die 200. Tonne?

f(200) = 1.58333

Also 1583.33 €

b) Begründe, dass die Herstellungskosten pro Tonne im Laufe der Produktion ständig abnehmen.

f(x) = (x + 180)/(x + 40) = (x + 40 + 140)/(x + 40) = 1 + 140/(x + 40)

Der Summand 140/(x + 40) ist streng monoton fallend.

c) Ab wann sind die Herstellungskosten für eine Tonne kleiner als 3000 €.

1 + 140/(x + 40) < 3 --> x > 30

d) Mit welchen Herstellungskosten pro Tonne ist langfristig zu rechnen?

lim (x → ∞) 1 + 140/(x + 40) = 1

Bei einer unendlichen Produktionsmenge sinken die Preise pro Tonne auf ca. 1000 € je Tonne.

e) Bestimme die Herstellungskosten für die ersten 5000 Tonnen.

∑((x + 180)/(x + 40), x, 1, 5000) = 5675.351

Also ca. 5675351 €

F(x) = 140·LN(x + 40) + x

Näherung

F(5000.5) - F(0.5) = 6194.036 - 518.682 = 5675.354

Also ca. 5675354 €.

Auch näherungsweise über F(5000) - F(0) zu berechnen.

f) Berechne die durchschnittlichen Herstellungskosten pro Tonne, wenn x Tonnen hergestellt werden.

F(x) - F(0) = (140·LN(x + 40)) + x - (140·LN(40)) = 140·LN((x + 40)/40) + x

(F(x) - F(0))/x = (140·LN((x + 40)/40) + x)/x = 140·LN((x + 40)/40)/x + 1

Comments

Könnten Sie die Teilaufgabe d ausführlich hinschreiben?

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Was verstehst du an der Notation

lim (x → ∞) 1 + 140/(x + 40) = 1 

nicht ? Hier wird der Grenzwert für x gegen unendlich gesucht.

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Die 1 im Zähler kann ich nicht nachvollziehen

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Die 1 steht nicht im Zähler sondern vor dem Bruch. Siehe auch die Zeile mit der Umwandlng.

f(x) = (x + 180)/(x + 40) = (x + 40 + 140)/(x + 40) = 1 + 140/(x + 40) 

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Wieso fällt das x und die 40 im Zähler weg?

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(x + 40 + 140)/(x + 40) = (x + 40)/(x + 40) + 140/(x + 40) = 1 + 140/(x + 40)

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Sorry, ich war ein Blindfisch.

Danke für die Erklärungen und deine Mühe.