Auf wie viele Nullen endet die Zahl?

Question

Frage: Auf wie viele Nullen endet die Zahl 23²³ * 12! * 3675 * 6237?

Brauche Hilfe bei der oben stehenden Aufgabe. Antwort mit einer Begründung werden gesucht.

Comments

Überlege mal, was die Primfaktorzerlegung der Zahl damit zu tun haben könnte.

Answer 1

Du schaust wie oft 5 in der Primfaktorzerlegung vorkommt, und wie oft 2.

Die kleinere der beiden Zahlen ist dann die Anzahl der  Endnullen.

Answer 2

wenn am Ende Nullen sind, gibt es für jede 0 einen Primfaktor 2 und einen 5 in der Zahl.

23²³ * 12! * 3675 * 6237

die 23²³  hat weder 2en noch 5en

6237 auch nicht.

3675 = 147*25 liefert also 2 mal den Primfaktor 5

und 12 ! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2

für 2en und 5en interessiert nur

12*10*8*6*5*4*2

=    2*2*3    * 2*5   * 2*2*2   *  2*3   * 5   * 2*2  * 2

Du siehst: 2en gibt es reichlich, aber 5en hier nur  2 Stück und

die  2 5en von oben sind zusammen 4.

Also 4 Nullen.

Comments

Aber wieso zählt man nur die 5er und nicht z.B. die 2er? o_O

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Diese kleine Zahlen sind für gute Rechner kein Problem:

Probe: 12! * 3675 * 6237 = 10979183698560000 -> stimmt

12! * 3675 * 6237*23^23 = 

229250493882233924366843624015189516766683520000  stimmt   

Interessant werden solche Aufgaben erst, wenn die Primzahlzerlegung einzelner Faktoren länger dauert als die Berechnung der ganzen Zahl selbst! (so ab 200 Stellen pro Faktor)   :-)

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Es braucht nur min(2er, 5er) berechnet werden, weil nur bei 2 * 5 = 10 also 1 Null hinzu kommt.

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Brauchst nur die 5er zu zählen. Je ein 2er und ein 5er ergeben im Erg. eine 0

Und 2er sind ja genug da.

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wenn eine Null am Ende einer Zahl steht, dann bedeutet das, dass die Zahl durch 10 teilbar ist.
 
2 und 5 sind Primfaktoren, die eine 10 bilden können.

du kannst nicht mit den 2en allein eine 10 bilden. Du brauchst immer eine 5.

Und da hier nur vier 5en gibt... haben wir vierstück die 10

also 10*10*10*10 = 10000   <--- vier Nullen

hoffenltich nicht sehr verwirrend...

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Alles klar :) Vielen Dank für die Hilfe