Behauptung x^{n+1}+x^n*y-xy^n-y^{n+1} durch x -y teilbar mit der vollständigen Induktion beweisen

Question

ich bereite mich im Moment auf die Uni vor, indem ich  mich mit den Themen, welches wir behandeln werden, auseinandersetze.

Ich muss sagen, dass ich die vollständige Induktion nicht in der Schule gelernt habe, sondern seit ca. 2 Wochen mir es selber beibringe. Es klappt auch, bis jetzt, super.

Bei einer Übungsaufgabe komme ich überhauptnicht klar:

für alle natürlichen Zahlen n,x,y (x ungleich y) ist der Ausdruck

x^{n+1}+x^n*y-xy^n-y^{n+1}  durch x -y teilbar

Kann mir jmd. weiterhelfen?

 

 

Comments

Behauptung etwas umformen.

xⁿ⁺¹+xⁿ*y-xyⁿ-yⁿ⁺¹  durch x -y teilbar

x^n (x+y)  - y^n (x+y) = (x^n - y^n) (x+y)  durch x -y teilbar

 

Multipliziere mal den folgenden Term aus: (x-y)(x^4 + x^3 y + x^2 y^2 + x y^3 + y^4)

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ahhh ok...nach dem umformen ist es wesentlich einfacher.

vielen dank

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Bitte. Ich hoffe das ist erledigt und mache aus meinem Kommentar eine Antwort.

Answer 1

 

Behauptung etwas umformen.

xⁿ⁺¹+xⁿ*y-xyⁿ-yⁿ⁺¹  durch x -y teilbar

xⁿ (x+y)  - yⁿ (x+y) = (xⁿ - yⁿ) (x+y)  durch x -y teilbar

 

Verankerung mit n=1 

(x-y)(x+y) ist durch x-y teilbar. ok.

 

Anmerkung: Es genügt zu zeigen, dass xⁿ - yⁿ durch x-y teilbar ist.

Induktionsschritt:

Multipliziere mal den folgenden Term aus: (x-y)(x⁴ + x³ y + x² y² + x y³ + y⁴)

Nun schaffst du den Induktionsschritt vielleicht selbst.