Berührpunkt einer Tangente mit einer Funktion bestimmen.Gegeben sind Steigung (e) und y-Achsenabschnitt (-e)

Question

Halli

ich habe die folgende Funktion gegeben:

f(x) = (x² - x ) * e^x 

Die Aufgabe lautet nun:

Zeigen sie, dass f eine Tangente t besitzt, welche die Steigung e besitzt und die y-Achse bei - e schneidet. Bestimmen sie den Berührpunkt.

y= mx + b

geben haben wir dann:

y= e * x - e

Aber mir fehlt der Ansatz wie ich damit weiter mache.

Setzte ich f(x) mit der Tangentengleichung gleich und löse nach x auf?  Da beide ja das selbe y aufweisen müssen?

Also:

(x² - x ) * e^x =  e * x - e

Oder ist das totaler Murks?

Und wenns doch stimmt komme ich da mit den ganzen e's nicht so gut mit dem auflösen durch.

Lieben Gruß,

Vanessa

Answer 1

Zunächst bildet man die Ableitung:
f'(x)=(2x-1)*e^x+e^x*(x^2-x) 
      = e^x((2x-1)+(x^2-x))
      =e^x(x^2+x-1)
Jetzt sucht man einen Wert für x, sodass f'(x)=e ist:
f'(x)=e
e=e^x(x^2+x-1)
x=1
f(1)=0
somit schneidet die Tangente auch die y-Achse im im Punkt (0I-e)-
Der Berührpunkt hat also die Koordinaten (1I0)

LG

Comments

Super ja macht Sinn :D

Vielen Dank für die mitternächtliche Antwort :)

Answer 2

$$ (x^2 - x ) \cdot  e^x =  e \cdot x - e  $$
$$ x \cdot (x - 1 ) \cdot  e^x =  e \cdot (x - 1 ) $$
$$ | : (x - 1 ) \quad x\ne 1 $$
$$ x  \cdot  e^x =  e  $$
$$ x  = 1   $$
... und nu ???

Comments

Danke für deine Antwort :)

Soll mir dein "und nu?" sagen " Wo war jetzt das Problem??"

So was einfaches wie ausklammern fällt mir meist gar nicht erst ein. Meine Grundlagen sind nicht die Besten.

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Das Problem ist, dass die Lösung infolge der vorangegangenen Division aus der Lösungsmenge ausgeschlossen wurde.

Eine weitergehende Untersuchung (z.B. Probe durch Einsetzen des Wertes in die Ausgansgleichungen) gibt Hinweis auf die Gültigkeit.

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~plot~(x^2-x)*e^x; e*x-e~plot~

Ich würde sagen, es sieht gut aus.