Lineare Abbildung Matrix bestimmen

Question

Hallo Mathegenies :),

ich lerne im Moment für eine Klausur und komme nicht weiter. Die Aufgabe lautet:

Ich habe eine Lösung dazu und zwar:

$$ \alpha \quad und\quad \beta \quad bestimmen:\\ \\ \begin{pmatrix} X1 \\ X2 \end{pmatrix}\quad =\quad \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\quad +\quad \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ =>\quad \psi (\xrightarrow { x } )=\quad \frac { x1-x2 }{ 2 } \quad \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\quad +\quad x2\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \\ =\quad \begin{pmatrix} x1-x2 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} X2 \\ X2 \end{pmatrix}\quad =\quad \begin{pmatrix} X1 \\ X2 \end{pmatrix}\quad =\quad \xrightarrow { x } \\ \\ Abbildungsvorschrift\quad \varphi :\quad x->y\quad =\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\xrightarrow { x } \\ \\ Somit\quad ist\quad A\quad =\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Ich verstehe einfach den letzten Schritt nicht, wie aus der Matrix $$ \alpha \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix} $$

Dann $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ wird.

Ich wäre sehr, sehr dankbar wenn mir das jemand erklären würde, ich komme einfach nicht drauf.

Answer 1

Hi, ich denke man muss die Komponenten der Matrix \( A \) so bestimmen, dass gilt
$$ A e_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}  $$ und
$$ A e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  $$ gilt.
Daraus ergibt sich \( A = \begin{pmatrix}  2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Die Fläche berechnet sich aus \( \det(A) \)

EDIT: Die Matrix muss natürlich \( A = \begin{pmatrix}  2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) heissen. Hab mich beim der schreiben der Matrix vertan.

Comments

Müsse es nicht eher lauten: A= $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ?

Danke für deine Mühe :).

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Also ich bin ziemlich sicher, dass entweder meine Lösung hier im Kommentar stimmt oder diese von oben, ich weiß auch inzwischen wie man auf die Lösung von oben kommt, ist eigentlich nicht schwer :). Aber was stimmt nun davon wirklich :D?

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Hm, okay, inzwischen glaube ich, dass die von ganz oben stimmt. Weil hier ja nach der Abbildung:

$$ \Psi :{ \Re  }^{ 2 }\rightarrow { \Re  }^{ 2 } $$ gefragt ist und nicht nach:

$$ \varphi :\xrightarrow { x } \rightarrow \varphi (\xrightarrow { x } )\quad =\quad \xrightarrow { y }  $$

Oder irre ich mich?

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Ist das wirklich eine Originalaufgabe? Da sind so viele Schreib- und Grammatikfehler und Auslassungen drin, das kenne ich hier nur von "nachformulierten" Aufgaben.

Ganz allgemein: Die Bilder der Basisvektoren stehen als Spalten in der Abbildungsmatrix!

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Die Aufgabe passt so wie sie beschrieben ist :). Der Herr Ulim hat die richtige Antwort gepostet, hab heute nochmal einen Prof gefragt. Hab vorhin bei meiner Lösung auch eine Zahl verdreht :D. Jedenfalls, danke an alle hier, ihr habt mir sehr weitergeholfen!