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Die Abbildung \( \mathcal{I}_{\mu} \) sei definiert durch
\( \mathcal{I}_{\mu}: \mathbb{P}_{N} \longrightarrow \mathbb{P}_{N+1}, \quad \sum \limits_{n=0}^{N} \alpha_{n} x^{n} \longmapsto \mu+x \cdot \sum \limits_{n=0}^{N} \frac{\alpha_{n}}{n+1} x^{n} \)
a) Bestimmen Sie alle \( \mu \in \mathbb{R} \), für die \( \mathcal{I}_{\mu} \) eine lineare Abbildung ist.
b) Geben Sie das Bild von \( x^{n} \in \mathbb{P}_{N} \) unter \( \mathcal{I}_{0} \) an und bestimmen Sie damit die darstellende Matrix von \( \mathcal{I}_{0} \) bezüglich der Monombasen in \( \mathbb{P}_{N} \) und \( \mathbb{P}_{N+1} \).
c) Untersuchen Sie \( \mathcal{I}_{0} \) auf Injektivität und Surjektivität.
Aufgabe:
Problem/Ansatz: Ich verstehe nich was ich machen soll.
