Wie bestimme ich, ob ein Vektor im Bild einer linearen Abbildung von R3 nach R4 liegt bei zwei gegeben Gleichungen?

Question

Ich habe zwei lineare Abbildungen von K gegeben, die von \(\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4 \) abbilden. Ich soll nun überpräfen, ob Vektor \(t \in \mathbb{R}^4\) im Bild von K liegt. Wie ist hier das vorgehen? Die anschliessende Frage ist, ob Vektor \(s \in \mathbb{R}^3\) im Kern von L liegt. Auch hier bin ich ratlos.

Kann mir jemand die herangehensweise sagen?

Answer 1

Ich soll nun überprüfen, ob Vektor t∈R^4 im Bild von K liegt.

Du nimmst die Abbildungsvorschrift, die sieht ja irgendwie so aus:

K : \(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}\)

und  a,b,c,d  sind ja jetzt irgendwelche Terme mit x,y und z.

Dann nimmst du 4 Komponenten von deinem Vektor t und setzt jede

Komponente gleich dem entsprechenden Term. Das gibt 4 Gleichungen mit

x,y und z. Wenn dieses Gleichungssystem eine Lösung hat, dann liegt t in dem

Bild von K .

Und wenn du ein s hast, von dem du wissen willst, ob es im Kern von K liegt,

dann musst du nur K(s) berechnen. Wenn das

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ist, dann liegt s im Kern.