zustandsraum matrix übergangsmatrix

Question

Eine weisse und zwei schwarze ( nicht unterscheidbare) Kugeln seien zufällig nebeneinander angeordnet.

Die Anordnung ändere sich in jeder Spielrunde nach folgender Regel:

Eine der drei Kugeln werde zufällig ausgewählt. Die ausgewählte Kugel wird an Position 1 (ganz links) neu angeordnet, die ursprünglich weiter links angeordneten Kugeln rücken eine Position nach rechts, die restlichen Anordnungen bleiben unverändert. Dabei werde die weisse Kugel mit Wahrscheinlichkeit α∈(0,1) und jede der beiden schwarzen Kugeln mit Wahrscheinlichkeit81-α)/2 ausgewählt.

a) Die Spielentwicklung lässt sich mit Hilfe einer Markov- Kette beschreiben. Bestimmen sie den zugehörigen Zustandsraum Z und die Übergangsmatrix A.

b) Zeichen sie das Zustandsdiagramm für dieses Spiel.

Answer 1

Eine der drei Kugeln werde zufällig ausgewählt. Die ausgewählte Kugel wird an Position 1 (ganz links) neu angeordnet, die ursprünglich weiter links angeordneten Kugeln rücken eine Position nach rechts, die restlichen Anordnungen bleiben unverändert. Dabei werde die weisse Kugel mit Wahrscheinlichkeit α∈(0,1) und jede der beiden schwarzen Kugeln mit Wahrscheinlichkeit81-α)/2 ausgewählt.

Zustandsraum am besten durch Angabe der Positionj der weissen Kugel.

Die anderen beiden sind dann für die schwarzen. Da es nur drei Positionen gibt { 1 ; 2 ; 3 }

Also brauchst du eine 3x3 Matrix, die das Wechselverhalten der weissen Kugel beschreibt.

(ich nehme mal a statt alpha)

Zustand 1:   Mit p=a wird die weisse gezogen und wieder auf 1 gelegt, bleibt also
                     Zustand 1.   Mit p = 1-a wird eine schwarze gezogen ( egal welche) und dann
                     wandert die weisse auf Pos. 2

Zustand 2:   Mit p=a wird die weisse gezogen und  auf 1 gelegt also entsteht
                     Zustand 1.   Mit p = (1-a)/2  wird die schwarze von Platz 1 gezogen, dann
                    ändert sich nichts. Mit p = (1-a)/2  wird die schwarze von Platz 3 gezogen,
                     dann wandert die weisse auf Platz 3, es entsteht also Zustand 3
                    

etc. gibt Matrix

a             a               a

1-a         (1-a)/2        0

0          (1-a)/2         1-a