Wie lautet die Übergangsmatrix M?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Übung 29 Glücksrad
Das nebenstehende Glücksrad (Sektoren ROT: \( 120^\circ \), GRÜN: \( 240^\circ \) wird gedreht. Der Einsatz pro Dreh beträgt \( 1 € \).
Steht nach dem Drehen der Zeiger auf ROT, so erhält der Spieler \( 2 € \). Sein Gewinn beträgt \( 1 € \). Steht der Zeiger auf GRÜN, so ist der Einsatz verloren.
Das Spiel endet, wenn der Spieler entweder \( 4 € \) erreicht oder kein Geld mehr hat.
a) Erstellen Sie ein Prozessdiagramm.
b) Wie lautet die Übergangsmatrix M?
c) Der Spieler beginnt mit \( 3 € \). Wie lautet die Verteilung des Spielers auf die verschiedenen Vermögenszustände (seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit) nach dem ersten Dreh? Wie lautet die langfristige Entwicklung?
d) Der Spieler startet mit \( 2 € \). Wie lautet die Verteilung nach dem zweiten Dreh? Welche langfristige Entwicklung kann der Spieler jetzt erwarten?
e) Der Spieler besitzt nur einen Euro. Wie lautet die Verteilung nach dem fünften Dreh? Welche langfristige Entwicklung erwartet der Spieler nun?
f) Wie lautet die Grenzmatrix \( \mathrm{M}^{\infty} \) ?
g) Formulieren Sie ein zusammenfassendes Ergebnis, indem Sie die Ergebnisse der Aufgabenteile c) bis f) miteinander vergleichen.

Danke für eure Hilfe !! :)

Comments

Wo sind die Probleme?

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Überall verstehe generell das Thema nicht :(

Answer 1

a)  Es gibt 5 mögliche "Vermögenszustände"

nämlich 0 und 4 (Dann ist das Spiel zu Ende.) also bleibt man in diesem
Zustand mit der Wahrscheinlichkeit 1.

Und die Zustände 1, 2, 3 , also die Spielerin hat 1 oder 2 oder 3 Euro.

Sieht dann so aus (Bei 0 und 4 muss noch ein Ringpfeil 1 hin.)

                          1/3               1/3                  1/3
                               ----->           ----->                ----->

    0   <----- 1                 2                   3                     4
                              <-----              <-----               <-----
                                  2/3              2/3                    2/3

und die Matrix ist \(  \begin{pmatrix} 1 & 2/3  & 0& 0& 0  \\ 0 & 0  & 2/3 & 0& 0\\ 0 & 1/3  & 0 & 2/3& 0\\ 0 & 0  & 1/3 & 0& 0\\ 0 & 0  & 0 & 1/3& 1\\ \end{pmatrix} \)

Für c) multipliziere die Matrix mit dem Vektor \(  \begin{pmatrix} 0  \\ 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix} \)

also Spielerin ist im Zustand "3 Euro".

Dann ist das Ergebnis der Vektor \(  \begin{pmatrix} 0  \\ 0 \\ 2/3 \\ 0\\ 1/3\\ \end{pmatrix} \).

D.h. mit Wahrscheinlichkeit 1/3 ist sie nach einem Dreh im Zustand "4 Euro"

(hat also diese Runde gewonnen, das Spiel ist aus).

Mit Wahrscheinlichkeit 2/3 ist sie in den Zustand " 2 Euro" gewechselt.

Wenn du die Matrix jetzt mit diesem Vektor \(  \begin{pmatrix} 0  \\ 0 \\ 2/3 \\ 0\\ 1/3\\ \end{pmatrix} \) multiplizierst, bekommst du die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände, die sie nach dem 2. Dreh erreicht hat, das sind dann

0   4/9   0   2/9   1/3  . etc.

"Langfristig" also sagen wir mal nach dem 20. Drehe bekommt man etwa

0,5330  0,0003 0,0000  0,0002  0,4665.

Also mit ca gut 53% Wahrscheinlichkeit hat sie verloren mit etwa 47%

verloren und ganz gering 0,0005 ist die Wahrscheinlichkeit,

dass das Spiel noch läuft.